Aula 548 — Integrais impróprias

O professor pergunta: ∫[1,∞]1/x²dx e ∫[1,∞]1/x dx são parecidas — as duas convergem para um valor finito?

Escrever as duas integrais impróprias no quadro e perguntar se ambas têm valor finito, já que os integrandos parecem semelhantes. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): tratar uma integral com limite infinito como uma integral definida comum, aplicando o TFC diretamente sem o cuidado do limite — além disso, achar que integrandos "parecidos" (1/x² e 1/x) sempre convergem ou divergem juntos, quando na verdade um pequeno ajuste no expoente pode ser a diferença entre convergência e divergência.

Apresentação dos slides 2 a 9: uma integral imprópria com limite infinito é definida como ∫[a,∞]f(x)dx=lim(t→∞)∫[a,t]f(x)dx — primeiro calcula-se a integral definida até t (um número finito), depois toma-se o limite quando t→∞. Para ∫[1,∞]1/x²dx=lim(t→∞)[-1/x] de 1 a t=lim(t→∞)(-1/t+1)=0+1=1 — CONVERGE para 1. Já ∫[1,∞]1/x dx=lim(t→∞)[ln|x|] de 1 a t=lim(t→∞)(ln(t)-0)=∞ — DIVERGE, pois ln(t) cresce sem limite. Apesar de 1/x² e 1/x parecerem integrandos semelhantes, um converge e o outro diverge — a pequena diferença no expoente muda completamente o comportamento no infinito. Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — ∫[1,∞]1/x²dx converge para 1, mas ∫[1,∞]1/x dx diverge (vai para infinito); integrandos parecidos podem ter comportamentos de convergência completamente diferentes.

Resolução guiada: calcular coletivamente ∫[0,∞]e^-ˣdx (resultado 1, convergente). Em duplas: verificar que ∫[1,∞]1/√x dx diverge (calculando o limite e observando que √t→∞).

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Retomar a pergunta do Momento 1: não — ∫[1,∞]1/x²dx converge para 1, enquanto ∫[1,∞]1/x dx diverge; apesar dos integrandos parecidos, a mudança do expoente de 2 para 1 é decisiva para o comportamento no infinito.