Aula 547 — Substituições trigonométricas

O professor pergunta: para integrar ∫1/√(9-x²)dx, a substituição x=3sen(θ) e a substituição x=3tan(θ) funcionam igualmente bem?

Escrever ∫1/√(9-x²)dx no quadro e propor as duas substituições, perguntando se ambas eliminam o radical. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): confundir qual substituição trigonométrica cabe a cada forma de radical — usar x=a·tan(θ) (própria para √(a²+x²)) num radical do tipo √(a²-x²) NÃO elimina a raiz corretamente; cada forma de radical tem uma substituição específica, ligada a uma identidade pitagórica diferente.

Apresentação dos slides 2 a 9: as três substituições trigonométricas seguem a forma do radical: para √(a²-x²), usa-se x=a·sen(θ) (pois a²-a²sen²θ=a²cos²θ, uma raiz perfeita); para √(a²+x²), usa-se x=a·tan(θ) (pois a²+a²tan²θ=a²sec²θ); para √(x²-a²), usa-se x=a·sec(θ) (pois a²sec²θ-a²=a²tan²θ). Para ∫1/√(9-x²)dx (forma a²-x², com a=3): usando x=3sen(θ), dx=3cos(θ)dθ, e √(9-x²)=√(9-9sen²θ)=3cos(θ); a integral vira ∫3cos(θ)/(3cos(θ))dθ=∫dθ=θ+C=arcsen(x/3)+C. Se alguém tentasse x=3tan(θ) aqui, o radical NÃO se simplificaria da mesma forma, pois essa substituição serve para a²+x², não a²-x². Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — só x=3sen(θ) funciona para √(9-x²) (forma a²-x²); x=3tan(θ) é a substituição certa para √(a²+x²), uma forma diferente de radical.

Resolução guiada: identificar coletivamente qual substituição cabe a ∫1/√(x²+4)dx (forma a²+x², a=2, substituição x=2tan(θ)). Em duplas: identificar a substituição para ∫1/√(x²-16)dx (forma x²-a², a=4, substituição x=4sec(θ)).

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Retomar a pergunta do Momento 1: não — só x=3sen(θ) funciona para √(9-x²); a substituição x=3tan(θ) é reservada para radicais da forma √(a²+x²), uma estrutura diferente que exige a identidade 1+tan²=sec², não 1-sen²=cos².