Aula 550 — Área entre curvas em relação ao eixo $y$

O professor pergunta: para calcular a área da região entre x=y² e x=y+2, é obrigatório reescrever tudo em função de x antes de integrar?

Escrever x=y² e x=y+2 no quadro (ambas já expressas em termos de y) e perguntar se é preciso isolar y para integrar em x. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): insistir em integrar sempre em relação a x, mesmo quando a região é mais naturalmente descrita em termos de y — forçar a conversão para y=f(x) pode exigir resolver uma equação do segundo grau (ou pior) para isolar y, uma complicação desnecessária quando integrar diretamente em y já resolve o problema de forma mais direta.

Apresentação dos slides 2 a 9: quando as curvas já estão (ou são mais naturalmente escritas) na forma x=g(y), a área se calcula como ∫(x_direita-x_esquerda)dy, de forma análoga à área entre curvas em x (Aula 549), mas com os papéis de x e y trocados. Para x=y² e x=y+2: as interseções em y são y=-1 e y=2 (resolvendo y²=y+2); testando y=0: x=y+2=2 está à direita de x=y²=0, então a área é ∫[-1,2]((y+2)-y²)dy=9/2 — mesmo valor da Aula 549 (é a mesma região, vista de outro ângulo, já que x=y² e y=x+2 correspondem à mesma dupla de curvas trocando papéis de x e y). Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — quando a região já é natural em termos de y, integrar diretamente em y (∫(x_direita-x_esquerda)dy) é mais direto do que forçar uma reescrita complicada em x.

Resolução guiada: montar coletivamente a integral em y para a área entre x=4-y² e x=0 (a área entre a parábola sideways e o eixo y). Em duplas: identificar as interseções em y de x=y² e x=y+2 e confirmar que a área calculada bate com a da Aula 549.

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Retomar a pergunta do Momento 1: não — quando a região é mais natural em y, não é preciso forçar a conversão para x; integrar diretamente em y, com ∫(x_direita-x_esquerda)dy, é a abordagem mais direta.