Aula 551 — Volumes pelo método dos discos
50 minObjetivo geral
Calcular volumes de sólidos de revolução pelo método dos discos, sem esquecer de elevar o raio ao quadrado.
Objetivos específicos
- Enunciar a fórmula do método dos discos: V=π∫[f(x)]2dx.
- Identificar a função raio numa região girada em torno de um eixo.
- Reconhecer que esquecer o quadrado do raio é o erro mais comum nesse método.
Conhecimentos prévios
- Interpretação geométrica da integral, Aula 538 deste módulo.
- Volume do cilindro, Módulo 23.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula551_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Wolfram Alpha e GeoGebra CAS, para verificar integrais e visualizar áreas e sólidos de revolução.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: girando a região sob y=√x, de x=0 a x=4, em torno do eixo x, o volume é π∫[0,4]√x dx?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever V=π∫[0,4]√x dx no quadro e perguntar se essa é a fórmula correta para o volume do sólido gerado. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): esquecer de ELEVAR AO QUADRADO a função raio ao aplicar a fórmula do método dos discos — cada fatia do sólido é um disco (cilindro fino) de raio f(x) e área π[f(x)]2, não π·f(x); esquecer o quadrado é o erro mais comum nesse método.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: girando a região sob y=f(x) (entre o eixo x e a curva) em torno do eixo x, cada fatia perpendicular ao eixo x é um disco de raio f(x) e área π[f(x)]2 (área do círculo = π×raio2); somando (integrando) essas fatias de área ao longo do intervalo, V=π∫[a,b][f(x)]2dx. Para y=√x de x=0 a x=4: V=π∫[0,4](√x)2dx=π∫[0,4]x dx=π[x2/2] de 0 a 4=π·8=8π. Se alguém esquecesse o quadrado, calcularia π∫[0,4]√x dx=π·(16/3)≈16,76, um valor bem diferente e errado (16π/3 em vez de 8π). Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — falta elevar √x ao quadrado; a fórmula correta é π∫[0,4](√x)2dx=π∫[0,4]x dx=8π, não π∫[0,4]√x dx.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: calcular coletivamente o volume gerado por y=x2 de x=0 a x=1, girado em torno do eixo x (V=π∫[0,1]x4dx=π/5). Em duplas: calcular o volume gerado por y=3 (uma reta horizontal) de x=0 a x=2, girado em torno do eixo x (V=π∫[0,2]9dx=18π, um cilindro).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — falta elevar a função raio (√x) ao quadrado; a fórmula correta é V=π∫[0,4](√x)2dx=π∫[0,4]x dx=8π, não π∫[0,4]√x dx (que dá um valor diferente e incorreto).
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Enuncie a fórmula do método dos discos.
Gabarito: V=π∫[a,b][f(x)]2dx.
2. Calcule o volume gerado por y=√x de x=0 a x=4, girado em torno do eixo x.
Gabarito: 8π.
3. Calcule o volume gerado por y=x2 de x=0 a x=1, girado em torno do eixo x.
Gabarito: π/5.
4. Calcule o volume gerado por y=3 de x=0 a x=2, girado em torno do eixo x.
Gabarito: 18π (um cilindro).
5. Encontre o erro: "o volume por discos de y=√x de 0 a 4 é π∫√x dx".
Gabarito: Errado: falta elevar √x ao quadrado; a fórmula correta é π∫(√x)2dx=π∫x dx=8π.