Aula 79 — Simplificação de radicais
50 minObjetivo geral
Simplificar radicais decompondo o radicando em fatores primos, extraindo do radical os fatores que formam potências exatas do índice.
Objetivos específicos
- Decompor o radicando em fatores primos como ferramenta de simplificação.
- Extrair do radical os fatores cujo expoente é múltiplo do índice.
- Reconhecer um radical já simplificado (quando nenhum fator do radicando pode mais ser extraído).
- Simplificar radicais com índices diferentes de 2 (cúbicos, por exemplo).
Conhecimentos prévios
- Operações com radicais, Módulo 4, Aula 78.
- Decomposição em fatores primos, Módulo 1, Aula 35.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula79_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita, calculadora para conferência.
- GeoGebra (calculadora CAS, para conferir simplificações de radicais).
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: "tem algum jeito sistemático de simplificar √72, ou é só tentativa e erro?" Ouvir hipóteses.
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoPerguntar: depois de simplificar uma vez, como saber se um radical já está totalmente simplificado? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): parar de simplificar um radical antes de chegar à forma mais simples, ou tentar extrair um fator cujo expoente não é múltiplo do índice.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: decompor o radicando em fatores primos revela sistematicamente o que pode ser extraído do radical — 72=23×32, então √72=√(22×2×32)=2×3×√2=6√2, já que os expoentes 2 (de 22) e 2 (de 32) são múltiplos do índice 2, mas o fator 2 restante (expoente 1) não é. Um radical está totalmente simplificado quando nenhum fator do radicando tem expoente múltiplo do índice — isso resolve o obstáculo do Momento 2. Para índices diferentes de 2, o processo é o mesmo: 3√54=3√(2×33)=3×3√2=33√2.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: simplificar coletivamente √72, decompondo 72 em fatores primos passo a passo. Em duplas: simplificar 3√54 e √200.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: existe sim um jeito sistemático — decompor em fatores primos e extrair os que formam potências exatas do índice.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Simplifique √72, decompondo 72 em fatores primos.
Gabarito: 72=23×32. √72=√(22×2×32)=2×3×√2=6√2.
2. Simplifique 3√54, decompondo 54 em fatores primos.
Gabarito: 54=2×33. 3√54=3√(2×33)=3×3√2=33√2.
3. O radical 6√2 (do exercício 1) já está totalmente simplificado? Justifique.
Gabarito: Sim — dentro do radical restou só o fator 2, que não forma nenhuma potência exata de índice 2 (não é quadrado perfeito), então não há mais nada a extrair.
4. Simplifique √200.
Gabarito: 200=23×52. √200=√(22×2×52)=2×5×√2=10√2.
5. Explique por que decompor o radicando em fatores primos ajuda a simplificar um radical.
Gabarito: Resposta aberta — porque a decomposição revela quais fatores aparecem em quantidade suficiente (expoente múltiplo do índice) para "sair" do radical, tornando esse processo sistemático em vez de tentativa e erro.
Observações e extensão
Próxima aula: Racionalização de denominadores. Nota para o professor: a simplificação vista aqui é frequentemente o último passo depois de racionalizar um denominador — vale mencionar essa conexão na próxima aula.