Aula 80 — Racionalização de denominadores
50 minObjetivo geral
Racionalizar denominadores com radicais, eliminando a raiz do denominador de uma fração.
Objetivos específicos
- Reconhecer por que é convencional eliminar radicais do denominador de uma fração.
- Racionalizar um denominador com radical simples, multiplicando numerador e denominador pelo mesmo radical.
- Simplificar o resultado de uma racionalização, quando possível.
- Racionalizar um denominador do tipo a+√b, usando o conjugado.
Conhecimentos prévios
- Simplificação de radicais, Módulo 4, Aula 79.
- Frações equivalentes, Módulo 2, Aula 39.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula80_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita, calculadora para conferência.
- Cartaz com o conceito de conjugado e um exemplo resolvido.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: "racionalizar um denominador é a mesma coisa que arredondar o radical que está lá embaixo?" Ouvir hipóteses.
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoPerguntar: multiplicar numerador e denominador de 1/√2 por √2 muda o valor da fração? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): achar que racionalizar significa "aproximar" ou "arredondar" o radical do denominador — na verdade, é uma transformação EXATA, que só reescreve a fração numa forma equivalente sem radical embaixo.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: multiplicar numerador e denominador de uma fração pelo mesmo radical não muda seu valor (equivale a multiplicar por 1, na forma √a/√a) — isso resolve o obstáculo do Momento 2: 1/√2=(1×√2)/(√2×√2)=√2/2, uma fração EXATAMENTE igual à original, só sem radical no denominador. Para denominadores do tipo a+√b, multiplica-se pelo conjugado a−√b, usando a diferença de quadrados: (a+√b)(a−√b)=a2−b, que elimina o radical.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: racionalizar coletivamente o denominador de 1/√2. Em duplas: racionalizar 3/√5 e, com apoio do professor, o denominador de 1/(2+√3) usando o conjugado.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — racionalizar não aproxima nada; é uma transformação exata que só muda a forma de escrever a mesma fração.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Racionalize o denominador de 1/√2.
Gabarito: Multiplicando numerador e denominador por √2: (1×√2)/(√2×√2)=√2/2.
2. Racionalize o denominador de 3/√5.
Gabarito: (3×√5)/(√5×√5)=3√5/5.
3. Explique por que multiplicar numerador e denominador pelo mesmo radical não muda o valor da fração.
Gabarito: Resposta aberta — porque isso equivale a multiplicar a fração por 1 (na forma √a/√a), preservando seu valor, só mudando a forma de escrevê-la.
4. Racionalize o denominador de 1/(2+√3), usando o conjugado (2−√3).
Gabarito: Multiplicando por (2−√3)/(2−√3): [1×(2−√3)]/[(2+√3)(2−√3)]=(2−√3)/(4−3)=(2−√3)/1=2−√3.
5. O que é o conjugado de a+√b, e por que multiplicar por ele elimina o radical do denominador?
Gabarito: Resposta aberta — o conjugado de a+√b é a−√b; multiplicar os dois usa a diferença de quadrados ((a+√b)(a−√b)=a2−b), eliminando o radical porque √b×√b=b, um número sem raiz.
Observações e extensão
Próxima aula: Expressões algébricas e valor numérico. Nota para o professor: esta aula fecha o bloco de radicais (Aulas 76 a 80); a partir da próxima, o módulo passa para álgebra com letras representando números.