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Aula 96 — Fatoração de trinômios do segundo grau

50 min

Objetivo geral

Fatorar trinômios da forma x2+bx+c encontrando dois números cuja soma seja b e cujo produto seja c.

Objetivos específicos

  • Identificar os coeficientes b e c de um trinômio da forma x2+bx+c.
  • Encontrar dois números que satisfaçam simultaneamente soma b e produto c.
  • Fatorar o trinômio como (x+p)(x+q), usando os números encontrados.
  • Verificar a fatoração expandindo o produto (x+p)(x+q).

Conhecimentos prévios

  • Multiplicação de polinômios, Módulo 4, Aula 86.
  • Trinômio quadrado perfeito, Módulo 5, Aula 94 (caso particular em que p=q).

Recursos didáticos

  • Apresentação de slides — Possor_MatAula96_Apresentacao.pptx.
  • Quadro/lousa e material de escrita.
  • GeoGebra CAS (para conferir a fatoração expandindo o resultado), em computador ou celular.

Desenvolvimento da aula

Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios

5 min · Ausubel — ativação de subsunçores

O professor pergunta: "se (x+2)(x+3)=x2+5x+6, dá pra partir de x2+5x+6 e descobrir que os números são 2 e 3, sem já saber a resposta?" Ouvir hipóteses.

Problematização Inicial

5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipado

Escrever "x2+7x+10, procurar dois números que multiplicam 10" no quadro e perguntar: só o produto já garante a fatoração certa? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): escolher dois números que satisfazem só uma das condições (só a soma, ou só o produto), sem checar as duas ao mesmo tempo — por exemplo, 1 e 10 multiplicam 10, mas somam 11, não 7.

Desenvolvimento Conceitual

20 min · Exposição dialogada

Apresentação dos slides 2 a 9: em x2+bx+c, procuramos dois números p e q tais que p+q=b E p×q=c, ao mesmo tempo — isso resolve o obstáculo do Momento 2: em x2+7x+10, os números precisam somar 7 E multiplicar 10 simultaneamente; testando os pares que multiplicam 10 (1 e 10, 2 e 5), só 2 e 5 também somam 7. Então x2+7x+10=(x+2)(x+5). Quando b e c são negativos ou mistos, os sinais dos dois números seguem as regras usuais de soma e produto de números com sinal.

Resolução Guiada

10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento Proximal

Resolução guiada: fatorar coletivamente x2+7x+12, testando pares de números até achar o que satisfaz soma e produto. Em duplas: fatorar x2-5x+6.

Exercícios de Fixação

7 min · Prática independente

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Síntese e Fechamento

3 min · Consolidação (fechamento circular)

Retomar a pergunta do Momento 1: sim — buscando dois números que satisfaçam soma E produto ao mesmo tempo, a fatoração aparece sem precisar adivinhar.

Avaliação formativa

Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.

Lista de exercícios

1. Fatore x2+7x+12.

Gabarito: 3 e 4 somam 7 e multiplicam 12. x2+7x+12=(x+3)(x+4).

2. Fatore x2-5x+6.

Gabarito: -2 e -3 somam -5 e multiplicam 6. x2-5x+6=(x-2)(x-3).

3. Fatore x2+x-6.

Gabarito: 3 e -2 somam 1 e multiplicam -6. x2+x-6=(x+3)(x-2).

4. Fatore x2-2x-15.

Gabarito: -5 e 3 somam -2 e multiplicam -15. x2-2x-15=(x-5)(x+3).

5. Encontre o erro: "x2+7x+10 fatorado como (x+1)(x+10)".

Gabarito: 1 e 10 multiplicam 10, mas somam 11, não 7. Os números certos são 2 e 5 (somam 7 e multiplicam 10), então o correto é (x+2)(x+5).

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