Aula 109 — Inequações quociente
50 minObjetivo geral
Resolver inequações quociente, aplicando o mesmo raciocínio do quadro de sinais das inequações produto, com a restrição adicional de que o denominador nunca pode ser zero.
Objetivos específicos
- Reconhecer que o quadro de sinais de um quociente segue a mesma lógica do produto.
- Identificar a restrição de domínio do denominador antes de montar o quadro de sinais.
- Montar o quadro de sinais do numerador e do denominador para determinar o sinal do quociente.
- Excluir da solução o valor que anula o denominador, mesmo quando o sinal pedido incluiria esse ponto.
Conhecimentos prévios
- Inequações produto, Módulo 6, Aula 108.
- Equações fracionárias e restrição de domínio, Módulo 6, Aula 107.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula109_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Lista de inequações quociente, incluindo casos com ≤ ou ≥ para reforçar a exclusão do denominador.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: "(x−1)/(x+3)≥0 pode ter x=−3 como parte da solução?" Ouvir hipóteses.
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever "(x−1)/(x+3)≥0 resolvido igual a uma inequação produto, incluindo x=−3 na solução porque o sinal é ≥" no quadro e perguntar: essa inclusão está certa? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): tratar o quadro de sinais do quociente exatamente igual ao do produto, esquecendo que o denominador nunca pode ser zero — mesmo quando o sinal da inequação (≥ ou ≤) permitiria incluir esse ponto em outras circunstâncias.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: o quadro de sinais de um quociente segue a mesma lógica do produto (mesmo sinal = resultado positivo, sinais diferentes = resultado negativo), mas com uma restrição extra: o denominador NUNCA pode ser zero, então esse valor é SEMPRE excluído da solução, mesmo que o sinal da inequação seja ≥ ou ≤ — isso resolve o obstáculo do Momento 2: em (x−1)/(x+3)≥0, o quadro de sinais dá x≤−3 ou x≥1, mas x=−3 precisa ser excluído (denominador zero), resultando em x<−3 ou x≥1.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: montar coletivamente o quadro de sinais de (x+2)/(x−4)<0. Em duplas: resolver (x−5)/(x+1)≤0, com atenção à exclusão do denominador.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — x=−3 nunca pode fazer parte da solução, pois anularia o denominador, independente do sinal da inequação.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Resolva (x−1)/(x+3)≥0.
Gabarito: Quadro de sinais: x≤−3 ou x≥1, mas x=−3 é excluído (denominador zero). Solução: x<−3 ou x≥1.
2. Resolva (x+2)/(x−4)<0.
Gabarito: Quadro de sinais: quociente negativo quando −2<x<4.
3. Resolva (x−5)/(x+1)≤0.
Gabarito: Quadro de sinais: −1<x≤5 (x=−1 excluído, denominador zero; x=5 incluído, numerador zero é permitido).
4. Encontre o erro: "(x−1)/(x+3)≥0 resolvido incluindo x=−3 na solução, porque o sinal é ≥".
Gabarito: x=−3 anula o denominador e precisa ser excluído SEMPRE, mesmo com sinal ≥. A solução correta exclui x=−3: x<−3 ou x≥1.
5. Por que o numerador pode ser zero numa inequação ≥0 ou ≤0, mas o denominador nunca pode?
Gabarito: Quando o numerador é zero, o quociente inteiro vale zero (definido); quando o denominador é zero, a divisão não é definida, então esse valor precisa ser sempre excluído da solução.
Observações e extensão
Última aula do Módulo 6 (Equações e Inequações). As técnicas de quadro de sinais aprendidas nas Aulas 108 e 109 serão retomadas para o estudo do sinal de funções nos módulos seguintes.