Aula 108 — Inequações produto
50 minObjetivo geral
Resolver inequações produto, estudando o sinal de cada fator separadamente através de um quadro de sinais.
Objetivos específicos
- Fatorar a expressão da inequação, quando necessário, usando as técnicas do Módulo 5.
- Estudar o sinal de cada fator individualmente, identificando onde é positivo, negativo ou zero.
- Montar um quadro de sinais combinando os fatores para determinar o sinal do produto.
- Identificar o intervalo solução de acordo com o sinal pedido na inequação.
Conhecimentos prévios
- Fatoração de trinômios do segundo grau, Módulo 5, Aula 96.
- Intervalos solução de inequações, Módulo 6, Aula 103.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula108_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- GeoGebra CAS (para conferir o sinal do produto em diferentes valores de x), em computador ou celular.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: "em (x−2)(x+1)>0, dá pra resolver olhando só um dos fatores isoladamente?" Ouvir hipóteses.
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever "(x−2)(x+1)>0 resolvido só exigindo x−2>0, ou seja, x>2" no quadro e perguntar: essa é a solução completa? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): aplicar a regra do sinal de UM fator só, ignorando que o produto de dois fatores NEGATIVOS também é positivo — faltam soluções.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: para estudar o sinal de um produto, analisamos o sinal de CADA fator separadamente e montamos um quadro de sinais — isso resolve o obstáculo do Momento 2: em (x−2)(x+1), o fator (x−2) é positivo para x>2 e negativo para x<2; o fator (x+1) é positivo para x>−1 e negativo para x<−1. O produto é positivo quando os dois fatores têm o MESMO sinal: x<−1 (ambos negativos) ou x>2 (ambos positivos) — não só x>2.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: montar coletivamente o quadro de sinais de (x−3)(x+2)<0. Em duplas: resolver x2−x−6>0, fatorando primeiro.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — é preciso o quadro de sinais completo, considerando os dois fatores, pois negativo vezes negativo também dá positivo.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Resolva (x−2)(x+1)>0.
Gabarito: Quadro de sinais: produto positivo quando x<−1 ou x>2.
2. Resolva (x−3)(x+2)<0.
Gabarito: Quadro de sinais: produto negativo quando −2<x<3.
3. Resolva x2−x−6>0.
Gabarito: Fatorando: (x−3)(x+2)>0. Positivo quando x<−2 ou x>3.
4. Encontre o erro: "(x−2)(x+1)>0 resolvido só exigindo x−2>0, ou seja, x>2".
Gabarito: Faltou o caso em que os dois fatores são negativos: x<−1 também satisfaz, pois negativo vezes negativo é positivo. A solução completa é x<−1 ou x>2.
5. Resolva (x−1)(x−5)≤0.
Gabarito: Quadro de sinais: produto negativo ou zero quando 1≤x≤5.