Aula 174 — Sistemas envolvendo equações do segundo grau
50 minObjetivo geral
Resolver sistemas de equações envolvendo uma equação do primeiro grau e uma do segundo grau, usando substituição.
Objetivos específicos
- Isolar uma variável na equação do primeiro grau do sistema.
- Substituir a expressão isolada na equação do segundo grau, reduzindo o sistema a uma única equação.
- Resolver a equação do segundo grau resultante, encontrando os valores de uma variável.
- Encontrar os valores correspondentes da outra variável, formando os pares-solução completos.
Conhecimentos prévios
- Fórmula de Bhaskara, Módulo 9, Aula 166.
- Sistemas de inequações do primeiro grau, Módulo 6, Aula 104.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula174_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Lista de sistemas com equação do primeiro e do segundo grau, de dificuldade crescente.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: "se um sistema tem uma equação do segundo grau, ele pode ter mais de um par de soluções?" Ouvir hipóteses.
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever "resolvido o sistema y=x+1 e x2+y2=25, encontramos só x=3 e y=4, e paramos por aí" no quadro e perguntar: essa é realmente a única solução do sistema? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): parar na primeira solução encontrada depois de resolver a equação do segundo grau, esquecendo que ela normalmente tem DUAS raízes, cada uma gerando um par-solução diferente do sistema.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: para resolver um sistema com uma equação do primeiro e uma do segundo grau, isolamos uma variável na equação do primeiro grau e substituímos na do segundo, reduzindo a uma equação do segundo grau numa variável só — isso resolve o obstáculo do Momento 2: para y=x+1 e x2+y2=25, substituindo: x2+(x+1)2=25, que dá 2x2+2x-24=0, ou x2+x-12=0, com Δ=49, x=3 ou x=−4. Para x=3, y=4; para x=−4, y=−3 — DOIS pares-solução: (3,4) e (−4,−3), não só um.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: resolver coletivamente o sistema y=x-1 e x2+y2=13, encontrando os dois pares-solução. Em duplas: resolver y=2x e y=x2-3, encontrando os pares-solução.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: sim — como a equação do segundo grau geralmente tem duas raízes, o sistema costuma ter dois pares-solução, não só um.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Resolva o sistema y=x+1 e x2+y2=25.
Gabarito: Substituindo: x2+(x+1)2=25 → x2+x-12=0 → x=3 ou x=−4. Pares: (3,4) e (−4,−3).
2. Resolva o sistema y=x-1 e x2+y2=13.
Gabarito: x2+(x-1)2=13 → 2x2-2x-12=0 → x2-x-6=0 → x=3 ou x=−2. Pares: (3,2) e (−2,−3).
3. Resolva o sistema y=2x e y=x2-3.
Gabarito: 2x=x2-3 → x2-2x-3=0 → x=3 ou x=−1. Pares: (3,6) e (−1,−2).
4. Encontre o erro: "resolvido o sistema y=x+1 e x2+y2=25, encontramos só x=3 e y=4, e paramos por aí".
Gabarito: A equação do segundo grau resultante tem duas raízes (x=3 e x=−4), gerando dois pares-solução: (3,4) e (−4,−3), não só um.
5. Quantos pares-solução um sistema desse tipo pode ter, no máximo, e por quê?
Gabarito: No máximo dois, pois a equação do segundo grau resultante tem no máximo duas raízes reais (Δ≥0).
Observações e extensão
Última aula do Módulo 9 (Equações do Segundo Grau). Os conceitos de discriminante, natureza das raízes e Relações de Girard serão retomados nos módulos de Polinômios e Funções Polinomiais.