Aula 173 — Equações irracionais
50 minObjetivo geral
Resolver equações irracionais (com a incógnita sob um radical), elevando ao quadrado os dois lados e VERIFICANDO cada solução na equação original.
Objetivos específicos
- Reconhecer uma equação irracional pela presença da incógnita dentro de um radical.
- Isolar o radical antes de elevar ao quadrado os dois lados da equação.
- Resolver a equação polinomial resultante, obtendo possíveis soluções.
- Verificar cada solução na equação ORIGINAL, descartando raízes espúrias (introduzidas pelo processo de elevar ao quadrado).
Conhecimentos prévios
- Fórmula de Bhaskara, Módulo 9, Aula 166.
- Raiz quadrada e radicais, Módulo 4.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula173_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- GeoGebra CAS, para conferir as soluções de uma equação irracional, em computador ou celular.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: "depois de elevar ao quadrado e resolver, todo valor encontrado é garantidamente solução da equação original?" Ouvir hipóteses.
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever "resolvida a equação √(x+3)=x-3, encontramos x=6 e x=1, e as duas são soluções" no quadro e perguntar: as duas soluções realmente satisfazem a equação COM O RADICAL? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): aceitar TODAS as soluções da equação polinomial obtida depois de elevar ao quadrado, sem verificar cada uma na equação IRRACIONAL original — elevar ao quadrado pode introduzir raízes espúrias, que satisfazem a equação elevada ao quadrado mas não a original.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: ao elevar ao quadrado os dois lados de uma equação, podemos introduzir soluções que NÃO satisfazem a equação original (porque o quadrado "esconde" o sinal) — por isso, toda solução encontrada precisa ser VERIFICADA na equação irracional original antes de ser aceita. Isso resolve o obstáculo do Momento 2: para √(x+3)=x-3, elevando ao quadrado, x+3=x2-6x+9, dando x2-7x+6=0, com raízes x=6 e x=1; testando na equação original, x=6 dá √9=3=6-3 ✓ (válida), mas x=1 dá √4=2, e 1-3=-2, e 2≠-2 ✗ (espúria, deve ser descartada).
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: resolver coletivamente √(2x+1)=x-1, elevando ao quadrado e verificando as soluções. Em duplas: resolver √(x+7)=x+1, verificando também.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — é essencial verificar cada solução na equação original, pois elevar ao quadrado pode introduzir raízes espúrias.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Resolva √(x+3)=x-3, verificando as soluções.
Gabarito: Elevando ao quadrado: x2-7x+6=0 → x=6 ou x=1. Testando: x=6 é válida (√9=3=6-3); x=1 é espúria (√4=2≠1-3=-2). Solução: x=6.
2. Resolva √(2x+1)=x-1, verificando as soluções.
Gabarito: Elevando ao quadrado: x2-4x=0 → x=0 ou x=4. Testando: x=0 dá √1=1, mas 0-1=-1≠1 (espúria); x=4 dá √9=3=4-1 (válida). Solução: x=4.
3. Por que elevar ao quadrado pode introduzir soluções que não valem na equação original?
Gabarito: Porque o quadrado de um número e de seu oposto são iguais ((-a)2=a2), então elevar ao quadrado pode "esconder" uma incompatibilidade de sinal que existia na equação original.
4. Encontre o erro: "resolvida a equação √(x+3)=x-3, encontramos x=6 e x=1, e as duas são soluções".
Gabarito: x=1 é uma raiz espúria: não satisfaz a equação original (√4=2, mas 1-3=-2). Só x=6 é solução válida.
5. Resolva √(x+7)=x+1, verificando as soluções.
Gabarito: Elevando ao quadrado: x2+x-6=0 → x=2 ou x=−3. Testando: x=2 dá √9=3=2+1 (válida); x=−3 dá √4=2, mas −3+1=−2≠2 (espúria). Solução: x=2.