Aula 34 — Números primos e números compostos
50 minObjetivo geral
Reconhecer números primos e números compostos, testando a primalidade de um número usando critérios de divisibilidade.
Objetivos específicos
- Definir número primo como aquele que tem exatamente dois divisores: 1 e ele mesmo.
- Definir número composto como aquele que tem mais de dois divisores.
- Testar se um número é primo, verificando sua divisibilidade pelos primos menores que sua raiz quadrada.
- Reconhecer o número 1 como um caso especial (nem primo, nem composto) e o 2 como o único primo par.
Conhecimentos prévios
- Critérios de divisibilidade, Módulo 1, Aula 33.
- Radiciação e raízes exatas, Módulo 1, Aula 23.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula34_Apresentacao.pptx.
- Crivo de Eratóstenes até 100 — cartaz, ou a versão interativa do GeoGebra (applet de números primos).
- Quadro/lousa e material de escrita.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: "o número 1 é primo?" Ouvir hipóteses.
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoPerguntar: quantos divisores tem o número 1? E quantos um número primo precisa ter, por definição? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): achar que o 1 é primo, por parecer "o número mais simples possível" — na verdade, por definição, um número primo precisa ter exatamente DOIS divisores distintos, e o 1 tem só um.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: número primo é aquele que tem exatamente dois divisores distintos (1 e ele mesmo); número composto é aquele que tem mais de dois divisores. O número 1 tem só um divisor (ele mesmo), não se encaixando em nenhuma das duas categorias — isso resolve o obstáculo do Momento 2. O 2 é o único número primo par, já que qualquer outro número par maior que 2 é divisível também por 2 além de 1 e ele mesmo, tendo pelo menos três divisores. Para testar se um número é primo, basta verificar sua divisibilidade pelos números primos menores que sua raiz quadrada — se nenhum divide exatamente, o número é primo (ex.: para testar 91, verifica-se a raiz quadrada aproximada, 9,5, e testam-se os primos 2, 3, 5 e 7).
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: testar coletivamente se 91 é primo, aplicando os critérios de divisibilidade por 2, 3, 5 e 7. Em duplas: testar a primalidade de um novo número, decidindo até qual primo é necessário testar.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não, o 1 não é primo — ele tem só um divisor, e a definição de número primo exige exatamente dois.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. O número 1 é primo? Por quê?
Gabarito: Não. Por definição, um número primo tem exatamente dois divisores distintos (1 e ele mesmo); o número 1 tem só um divisor (ele mesmo, que coincide com o 1), não se encaixando na definição — é um caso especial, nem primo nem composto.
2. O número 2 é o único número primo par. Explique por que nenhum outro número par pode ser primo.
Gabarito: Todo número par maior que 2 é divisível também por 2, além de por 1 e por ele mesmo, ou seja, tem pelo menos três divisores — isso o torna composto, não primo. O 2 é exceção porque seus únicos divisores já são 1 e 2.
3. O número 91 é primo? Teste a divisibilidade pelos primos até a raiz quadrada de 91 (aproximadamente 9,5: teste 2, 3, 5 e 7).
Gabarito: 91 não é divisível por 2 (ímpar), nem por 3 (9+1=10, não divisível por 3), nem por 5 (não termina em 0 ou 5); mas é divisível por 7 (7×13=91) — logo 91 é composto, não primo.
4. Por que só é necessário testar divisores até a raiz quadrada de um número para saber se ele é primo?
Gabarito: Resposta aberta — espera-se que o aluno explique que, se um número tivesse um divisor maior que sua raiz quadrada, ele teria obrigatoriamente também um divisor correspondente menor que a raiz quadrada (os divisores aparecem em pares que se multiplicam para dar o número original), então testar até a raiz quadrada já é suficiente.
5. Liste todos os números primos entre 20 e 40.
Gabarito: 23, 29, 31, 37.
Observações e extensão
Próxima aula: Decomposição em fatores primos. Nota para o professor: o teste de primalidade visto aqui é a ferramenta que a próxima aula vai aplicar repetidamente para decompor qualquer número composto em seus fatores primos.