Aula 35 — Decomposição em fatores primos
50 minObjetivo geral
Decompor um número composto em seus fatores primos, usando a fatoração como ferramenta para compreender a estrutura multiplicativa dos números.
Objetivos específicos
- Aplicar o processo de decomposição em fatores primos (divisões sucessivas pelos menores primos possíveis).
- Escrever a decomposição de um número usando notação de potência quando um fator primo se repete.
- Verificar uma decomposição multiplicando os fatores primos encontrados e conferindo se o resultado bate com o número original.
- Reconhecer que a decomposição em fatores primos de um número é única, a menos da ordem dos fatores.
Conhecimentos prévios
- Números primos e números compostos, Módulo 1, Aula 34.
- Potenciação de números naturais e propriedades básicas, Módulo 1, Aula 22.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula35_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa com o método da "divisão em barra" para fatoração.
- Quadro/lousa e material de escrita, calculadora para conferência.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: "todo número composto pode ser \"desmontado\" numa multiplicação só de números primos?" Ouvir hipóteses.
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoPerguntar: se duas pessoas decompuserem o número 60 começando por divisores diferentes, elas vão chegar a resultados diferentes? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): achar que existem várias decomposições em fatores primos diferentes e igualmente corretas para o mesmo número, dependendo da ordem em que se testam os divisores — na verdade, o resultado final é sempre único.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: decompor um número em fatores primos significa dividi-lo sucessivamente pelos menores primos possíveis, até restar 1 — por exemplo, 60÷2=30, 30÷2=15, 15÷3=5, 5÷5=1, resultando em 60=2×2×3×5, escrito com notação de potência como 60=22×3×5. Verificar a decomposição significa multiplicar os fatores encontrados e conferir se o resultado bate com o número original (22×3×5=4×3×5=60). Um teorema fundamental da aritmética garante que essa decomposição é única para cada número (a menos da ordem dos fatores) — isso resolve o obstáculo do Momento 2: não importa por qual primo se comece a dividir, o resultado final é sempre o mesmo conjunto de fatores.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: decompor coletivamente o número 60 em fatores primos usando o método da divisão em barra, e verificar o resultado multiplicando os fatores. Em duplas: decompor um segundo número, começando por um divisor diferente do usado pelo professor, e confirmar que o resultado final é o mesmo obtido por outra dupla que começou de forma diferente.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: sim, todo número composto pode ser desmontado numa multiplicação só de fatores primos, e esse resultado é sempre único, não importa a ordem em que os divisores forem testados.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Decomponha o número 60 em fatores primos, usando notação de potência.
Gabarito: 60=22×3×5.
2. Decomponha o número 84 em fatores primos.
Gabarito: 84=22×3×7.
3. Verifique a decomposição do exercício anterior multiplicando os fatores encontrados.
Gabarito: 22×3×7=4×3×7=84 — confere com o número original.
4. Dois alunos decompuseram 60 começando por divisores diferentes (um começou dividindo por 2, outro por 3) e chegaram a 22×3×5 nos dois casos. Isso é coincidência?
Gabarito: Não, é esperado. A decomposição em fatores primos de um número é única (a menos da ordem em que os fatores são escritos) — não importa por qual primo se comece a dividir, o resultado final é sempre o mesmo.
5. Decomponha o número 100 em fatores primos.
Gabarito: 100=22×52.
Observações e extensão
Próxima aula: Mínimo Múltiplo Comum (MMC). Nota para o professor: a decomposição em fatores primos vista aqui é o método mais confiável para calcular o MMC de dois números na próxima aula.