Aula 178 — Teorema do Resto
50 minObjetivo geral
Aplicar o Teorema do Resto para obter diretamente o resto da divisão de um polinômio por um binômio (x−a), sem realizar a divisão completa, reconhecendo os limites do teorema.
Objetivos específicos
- Enunciar o Teorema do Resto: o resto da divisão de P(x) por (x−a) é igual a P(a).
- Calcular P(a) para obter o resto sem dividir.
- Reconhecer que o Teorema do Resto só devolve um número quando o divisor tem grau 1.
- Comparar o resultado obtido pelo teorema com o resto encontrado por divisão direta.
Conhecimentos prévios
- Dispositivo de Briot-Ruffini, Módulo 10, Aula 177.
- Valor numérico de um polinômio (substituir x por um número), Módulo 4.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula178_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Lista de polinômios e divisores para praticar o Teorema do Resto sem dividir.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: pra saber o resto de uma divisão, é sempre necessário dividir o polinômio inteiro?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever no quadro: "o resto de x3−3x2+2x−5÷(x+1) é P(1), calculado direto" e perguntar: essa afirmação está certa? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): o valor a a substituir é a raiz do divisor (x+1=0 → x=−1), então o correto é calcular P(−1), não P(1) — usar o valor errado dá um resultado diferente do resto real.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: Teorema do Resto — o resto da divisão de P(x) por (x−a) é P(a), sem precisar dividir; mas o teorema só devolve um NÚMERO porque o divisor tem grau 1 (para divisores de grau maior, o resto pode ser um polinômio, não um número). Resolvendo a pergunta do Momento 2: P(−1)=(−1)3−3(−1)2+2(−1)−5=−1−3−2−5=−11, batendo com o resto −11 da divisão feita nas Aulas 176 e 177. Calculando errado com P(1)=1−3+2−5=−5, um valor diferente — confirma o erro de usar o sinal trocado.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: calcular coletivamente P(3) para P(x)=x3−2x2−4x−1, conferindo que bate com o resto −4 das Aulas 176/177. Em duplas: calcular P(−2) para o mesmo P(x), conferindo com o resto −9 encontrado na Aula 177.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: o Teorema do Resto evita a divisão completa quando só se precisa do resto — mas exige usar a raiz correta do divisor, com o sinal certo.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Use o Teorema do Resto para encontrar o resto de x3−3x2+2x−5÷(x+1) sem dividir.
Gabarito: P(−1)=−1−3−2−5=−11.
2. Use o Teorema do Resto para encontrar o resto de x3−2x2−4x−1÷(x−3) sem dividir.
Gabarito: P(3)=27−18−12−1=−4.
3. Use o Teorema do Resto para encontrar o resto de x3−2x2−4x−1÷(x+2) sem dividir.
Gabarito: P(−2)=−8−8+8−1=−9.
4. O Teorema do Resto se aplica diretamente para encontrar o resto de uma divisão por (x2−1)? Por quê?
Gabarito: Não diretamente — o teorema, na forma simples, vale para divisores de grau 1; para grau 2 o resto pode ser um polinômio de grau ≤1, não um número único.
5. Encontre o erro: "o resto de P(x)÷(x+1) é P(1)."
Gabarito: O correto é P(−1), pois a raiz de x+1=0 é x=−1, não x=1.