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Aula 179 — Teorema de D'Alembert

50 min
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Objetivo geral

Aplicar o Teorema de D'Alembert para verificar se um polinômio é divisível por um binômio (x−a), reconhecendo que testar um único valor não permite concluir sobre a ausência de TODAS as raízes.

Objetivos específicos

  • Enunciar o Teorema de D'Alembert: P(x) é divisível por (x−a) se, e somente se, P(a)=0.
  • Verificar divisibilidade calculando P(a) para candidatos a raiz.
  • Reconhecer que P(a)≠0 só descarta aquele valor específico como raiz, não todas as raízes possíveis.
  • Relacionar o teorema com o Teorema do Resto (caso particular em que o resto é zero).

Conhecimentos prévios

  • Teorema do Resto, Módulo 10, Aula 178.
  • Conjuntos numéricos e a ideia de testar candidatos, Módulo 3.

Recursos didáticos

  • Apresentação de slides — Possor_MatAula179_Apresentacao.pptx.
  • Quadro/lousa e material de escrita.
  • Wolfram Alpha, para testar rapidamente vários valores candidatos a raiz de um polinômio.

Desenvolvimento da aula

Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios

5 min · Ausubel — ativação de subsunçores

O professor pergunta: existe um jeito rápido de saber se um polinômio é divisível por (x−a), sem fazer a divisão inteira?

Problematização Inicial

5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipado

Escrever no quadro P(x)=x3−6x2+11x−6 e a informação "P(0)=−6", perguntando: dá pra concluir que P(x) não tem raiz nenhuma? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): P(a)≠0 só garante que ESSE valor de a específico não é raiz — não permite concluir que nenhum outro valor seja.

Desenvolvimento Conceitual

20 min · Exposição dialogada

Apresentação dos slides 2 a 9: Teorema de D'Alembert — P(x) divisível por (x−a) se, e somente se, P(a)=0; é o Teorema do Resto no caso particular em que o resto é zero. Resolvendo a pergunta do Momento 2: apesar de P(0)=−6≠0, testando outros valores: P(1)=1−6+11−6=0, P(2)=8−24+22−6=0, P(3)=27−54+33−6=0 — P(x) tem, na verdade, três raízes (1, 2 e 3), só não era a=0.

Resolução Guiada

10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento Proximal

Resolução guiada: verificar coletivamente se x3−2x2−4x−1 é divisível por (x−3), usando P(3)=−4≠0 (Aula 178) para concluir que NÃO é divisível. Em duplas: verificar se o mesmo polinômio é divisível por (x+2), usando P(−2)=−9≠0.

Exercícios de Fixação

7 min · Prática independente

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Síntese e Fechamento

3 min · Consolidação (fechamento circular)

Retomar a pergunta do Momento 1 e 2: D'Alembert dá um teste rápido, mas testar um valor só descarta aquele valor — não conclui nada sobre os demais.

Avaliação formativa

Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.

Lista de exercícios

1. P(x)=x3−6x2+11x−6 é divisível por (x−2)?

Gabarito: P(2)=8−24+22−6=0, então sim, é divisível.

2. P(x)=x3−2x2−4x−1 é divisível por (x−3)?

Gabarito: P(3)=−4≠0, então não é divisível.

3. Sabendo que P(0)=−6≠0 para P(x)=x3−6x2+11x−6, é correto concluir que P(x) não tem raiz nenhuma?

Gabarito: Não. P(0)≠0 só descarta a=0; o polinômio tem raízes 1, 2 e 3, só nenhuma delas é 0.

4. P(x)=x3−6x2+11x−6 é divisível por (x−1)?

Gabarito: P(1)=1−6+11−6=0, então sim.

5. Qual a relação entre o Teorema de D'Alembert e o Teorema do Resto?

Gabarito: D'Alembert é o caso particular do Teorema do Resto em que o resto vale exatamente zero.

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