Aula 180 — Divisibilidade de polinômios
50 minObjetivo geral
Reconhecer as condições sob as quais a divisibilidade de um polinômio por dois fatores separados garante a divisibilidade pelo produto desses fatores.
Objetivos específicos
- Verificar divisibilidade de um polinômio por dois binômios (x−a) e (x−b) separadamente.
- Concluir a divisibilidade pelo produto (x−a)(x−b) quando as raízes a e b são distintas.
- Reconhecer que, se a=b (mesma raiz testada de formas diferentes), a divisibilidade pelo produto NÃO fica garantida automaticamente.
- Verificar o resultado dividindo o polinômio pelo produto dos fatores.
Conhecimentos prévios
- Teorema de D'Alembert, Módulo 10, Aula 179.
- Divisão de polinômios pelo método da chave, Módulo 10, Aula 176.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula180_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Lista de polinômios para verificar divisibilidade por produtos de binômios.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: se um polinômio é divisível por (x−1) E por (x−2), dá pra garantir que ele é divisível pelo produto (x−1)(x−2)?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever no quadro: "P(x) divisível por (x−1) e por (2x−2) — logo é divisível por (x−1)(2x−2)", perguntando: essa conclusão está certa? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): (2x−2) tem a MESMA raiz que (x−1) (x=1 nos dois casos) — não são fatores independentes, então testar os dois não garante fator novo nenhum.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: se P(x) é divisível por (x−a) e por (x−b) com a≠b (raízes DISTINTAS), então P(x) é divisível pelo produto (x−a)(x−b). Resolvendo a pergunta do Momento 2 (versão correta): P(x)=x3−6x2+11x−6 é divisível por (x−1) e por (x−2), com raízes distintas 1≠2, logo é divisível por (x−1)(x−2)=x2−3x+2 — dividindo, o quociente é (x−3), sem resto.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: dividir coletivamente x3−6x2+11x−6 por x2−3x+2, conferindo o quociente x−3 e resto 0. Em duplas: verificar se x3−6x2+11x−6 é divisível por (x−1)(x−3), calculando o produto e dividindo.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1 e 2: divisibilidade pelo produto exige raízes DISTINTAS nos fatores testados — testar a mesma raiz disfarçada em dois binômios diferentes não garante fator novo.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. P(x)=x3−6x2+11x−6 é divisível por (x−1) e por (x−2). É divisível por (x−1)(x−2)?
Gabarito: Sim, pois as raízes 1 e 2 são distintas. Dividindo x3−6x2+11x−6 por x2−3x+2, o quociente é x−3, resto 0.
2. P(x)=x3−6x2+11x−6 é divisível por (x−1) e por (x−3). É divisível por (x−1)(x−3)?
Gabarito: Sim, raízes distintas (1≠3). O produto (x−1)(x−3)=x2−4x+3 divide P(x), quociente x−2.
3. Encontre o erro: "P(x) divisível por (x−2) e por (3x−6) garante divisibilidade por (x−2)(3x−6)."
Gabarito: (3x−6) tem a mesma raiz que (x−2) (x=2 nos dois casos) — não são fatores de raízes distintas, então essa conclusão não é garantida.
4. Quantas raízes distintas P(x)=x3−6x2+11x−6 possui, e quais são?
Gabarito: Três raízes distintas: 1, 2 e 3.
5. Verifique dividindo (x−1)(x−2)(x−3) e confirme que dá x3−6x2+11x−6.
Gabarito: (x−1)(x−2)=x2−3x+2; (x2−3x+2)(x−3)=x3−3x2−3x2+9x+2x−6=x3−6x2+11x−6, confirma.