Aula 181 — Raízes de polinômios
50 minObjetivo geral
Compreender o conceito de raiz de um polinômio e reconhecer que o número de raízes reais visíveis pode ser menor que o grau, pois nem toda raiz é real.
Objetivos específicos
- Definir raiz de um polinômio como o valor que anula P(x).
- Relacionar raízes de P(x) com os pontos onde o gráfico cruza o eixo x.
- Reconhecer que um polinômio de grau n pode ter raízes complexas não-reais, que não aparecem no gráfico.
- Contrastar um exemplo com raízes reais e outro com raízes complexas, ambos de mesmo grau.
Conhecimentos prévios
- Teorema de D'Alembert, Módulo 10, Aula 179.
- Números complexos (unidade imaginária i, i2=−1), Módulo 11 — noção introdutória antecipada aqui, aprofundada adiante.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula181_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- GeoGebra, para plotar os gráficos de x2−1 e x2+1 lado a lado e observar quantas vezes cada um cruza o eixo x.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: todo polinômio de grau 2 tem exatamente duas raízes visíveis no gráfico, cruzando o eixo x duas vezes?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever no quadro f(x)=x2−1 e g(x)=x2+1, perguntando: os dois têm o mesmo grau — os dois cruzam o eixo x duas vezes? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): nem toda raiz de um polinômio é um número real — algumas são números complexos, que não aparecem como cruzamento no gráfico.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: raiz de P(x) é o valor que satisfaz P(x)=0; no gráfico, corresponde a onde a curva cruza o eixo x — mas só as raízes REAIS aparecem assim. Resolvendo a pergunta do Momento 2: f(x)=x2−1 tem raízes reais x=±1 (cruza o eixo x duas vezes); g(x)=x2+1=0 dá x2=−1, sem solução real — suas duas raízes são complexas (x=i e x=−i), invisíveis no gráfico, mas ainda contam como raízes do polinômio.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: verificar coletivamente que x2+1 não tem raiz real, testando alguns valores e observando que x2 nunca é negativo. Em duplas: comparar os gráficos de x2−1 e x2+1 esboçados à mão, discutindo a diferença.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: nem todo polinômio de grau n cruza o eixo x n vezes — algumas raízes podem ser complexas, sem aparecer no gráfico.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Quantas raízes reais tem f(x)=x2−1? Quais são?
Gabarito: Duas raízes reais: x=1 e x=−1.
2. g(x)=x2+1=0 tem raiz real? Justifique.
Gabarito: Não — x2 nunca é negativo para x real, então x2+1 nunca é zero para x real.
3. Um polinômio de grau 4 pode ter apenas 2 raízes reais visíveis no gráfico? Isso contradiz o grau?
Gabarito: Não contradiz — as outras 2 raízes podem ser complexas não-reais, que não aparecem como cruzamento no gráfico.
4. O gráfico de um polinômio de grau 3 sempre cruza o eixo x pelo menos uma vez? Por quê?
Gabarito: Sim — todo polinômio de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real (o gráfico vem de −∞ e vai para +∞, ou o contrário, cruzando o eixo em algum ponto).
5. h(x)=x2−4 tem quantas raízes reais?
Gabarito: Duas: x=2 e x=−2.