Aula 182 — Multiplicidade das raízes
50 minObjetivo geral
Compreender o conceito de multiplicidade de uma raiz, reconhecendo que uma raiz repetida deve ser contada tantas vezes quanto aparecer na fatoração, para totalizar o grau do polinômio.
Objetivos específicos
- Definir multiplicidade de uma raiz a partir de quantas vezes o fator (x−a) aparece na fatoração.
- Contar corretamente o total de raízes de um polinômio, incluindo repetições.
- Reconhecer que a soma das multiplicidades das raízes é sempre igual ao grau do polinômio.
- Fatorar um polinômio simples identificando raízes e suas multiplicidades.
Conhecimentos prévios
- Raízes de polinômios, Módulo 10, Aula 181.
- Produtos notáveis (quadrado da diferença/soma), Módulo 5.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula182_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Lista de polinômios fatorados para praticar a contagem de multiplicidade.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: se um polinômio de grau 3 tem só duas raízes DIFERENTES visíveis, isso contradiz o grau, ou existe outra explicação?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever no quadro P(x)=(x−2)2(x+1) e perguntar: quantas raízes tem esse polinômio? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): contar só os valores DIFERENTES (2 e −1, duas raízes) ignora que x=2 aparece duas vezes na fatoração — a contagem correta usa a multiplicidade.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: a multiplicidade de uma raiz a é o número de vezes que o fator (x−a) aparece na fatoração; a soma das multiplicidades de todas as raízes é sempre igual ao grau do polinômio. Resolvendo a pergunta do Momento 2: P(x)=(x−2)2(x+1), expandido, é x3−3x2+4 (grau 3); a raiz x=2 tem multiplicidade 2, a raiz x=−1 tem multiplicidade 1; total 2+1=3, batendo com o grau.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: expandir coletivamente (x−2)2(x+1) e conferir que dá x3−3x2+4. Em duplas: identificar as raízes e multiplicidades de Q(x)=(x+3)(x−1)3, e conferir que a soma das multiplicidades bate com o grau de Q(x).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1 e 2: contar só as raízes diferentes pode subestimar o total — é preciso contar cada raiz tantas vezes quanto sua multiplicidade.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Quantas raízes (contando multiplicidade) tem P(x)=(x−2)2(x+1)?
Gabarito: Três: x=2 (multiplicidade 2) e x=−1 (multiplicidade 1), somando 2+1=3, igual ao grau.
2. Expanda P(x)=(x−2)2(x+1) na forma polinomial.
Gabarito: (x−2)2=x2−4x+4; (x2−4x+4)(x+1)=x3−3x2+4.
3. Q(x)=(x+3)(x−1)3 tem que grau, e quantas raízes contando multiplicidade?
Gabarito: Grau 4; raiz x=−3 (multiplicidade 1) e x=1 (multiplicidade 3), somando 1+3=4.
4. Um polinômio de grau 5 tem só 3 raízes DIFERENTES visíveis. Isso é possível?
Gabarito: Sim, se alguma raiz tiver multiplicidade maior que 1 — por exemplo, multiplicidades 3, 1 e 1 somam 5.
5. R(x)=(x−5)2 tem quantas raízes diferentes, e qual a multiplicidade?
Gabarito: Uma raiz diferente (x=5), com multiplicidade 2 — dita raiz dupla.