Aula 183 — Teorema Fundamental da Álgebra
50 minObjetivo geral
Compreender o enunciado do Teorema Fundamental da Álgebra, reconhecendo que ele garante a existência de raízes complexas, não necessariamente reais.
Objetivos específicos
- Enunciar o Teorema Fundamental da Álgebra: todo polinômio de grau n≥1 tem pelo menos uma raiz no conjunto dos números complexos.
- Reconhecer que, contando multiplicidade, um polinômio de grau n tem exatamente n raízes complexas.
- Diferenciar a garantia do teorema (raiz complexa) de uma garantia de raiz real, que o teorema NÃO oferece.
- Relacionar o teorema com o exemplo de raízes complexas visto na Aula 181.
Conhecimentos prévios
- Raízes de polinômios (raízes reais vs. complexas), Módulo 10, Aula 181.
- Multiplicidade das raízes, Módulo 10, Aula 182.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula183_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Lista de polinômios de graus variados para identificar quantas raízes complexas cada um deve ter, pelo teorema.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: será que TODO polinômio de grau maior ou igual a 1 tem, garantidamente, pelo menos uma raiz real?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever no quadro g(x)=x2+1 (Aula 181, sem raiz real) e perguntar: esse polinômio contradiz a ideia de que "todo polinômio tem raiz"? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): a garantia de existência de raiz vale no conjunto dos números COMPLEXOS, não necessariamente nos reais — confundir essas duas garantias é o erro mais comum sobre esse teorema.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: o Teorema Fundamental da Álgebra garante que todo polinômio de grau n≥1 tem pelo menos uma raiz complexa; consequência: contando multiplicidade, tem exatamente n raízes complexas (reais são um caso particular de complexas). Resolvendo a pergunta do Momento 2: g(x)=x2+1, grau 2, tem exatamente 2 raízes complexas (x=i e x=−i, Aula 181) — o teorema se confirma, só que nenhuma das duas é real.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: contar coletivamente, pelo teorema, quantas raízes complexas tem um polinômio de grau 5 (resposta: exatamente 5, contando multiplicidade). Em duplas: para P(x)=(x−2)2(x+1) (Aula 182, grau 3), confirmar que o total de raízes complexas (que aqui coincidem com reais) bate com o grau.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1 e 2: o teorema garante raiz complexa, não raiz real — g(x)=x2+1 é a prova de que as duas garantias são diferentes.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Quantas raízes complexas (contando multiplicidade) tem um polinômio de grau 7, pelo Teorema Fundamental da Álgebra?
Gabarito: Exatamente 7.
2. g(x)=x2+1 tem raiz real? Isso contradiz o Teorema Fundamental da Álgebra?
Gabarito: Não tem raiz real, mas não contradiz o teorema — ele garante 2 raízes complexas (i e −i), sem exigir que sejam reais.
3. O Teorema Fundamental da Álgebra garante que todo polinômio de grau ímpar tem raiz real. Essa afirmação é do teorema ou de outro resultado?
Gabarito: É outro resultado (consequência do comportamento do gráfico em grau ímpar) — o TFA por si só garante só raiz complexa, não real.
4. Quantas raízes reais, no mínimo, o TFA garante para um polinômio de grau 4?
Gabarito: Zero — o TFA não garante nenhuma raiz real, só 4 raízes complexas ao todo.
5. Para P(x)=(x−2)2(x+1), de grau 3, quantas raízes complexas garante o TFA, e quantas delas são reais nesse caso?
Gabarito: 3 raízes complexas ao todo (2 e −1, com 2 tendo multiplicidade 2); nesse caso, todas as 3 (contando multiplicidade) são reais.