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Aula 184 — Pesquisa de raízes racionais

50 min
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Objetivo geral

Aplicar o Teorema das Raízes Racionais para listar candidatos a raiz racional de um polinômio de coeficientes inteiros, testando também os candidatos negativos.

Objetivos específicos

  • Enunciar o Teorema das Raízes Racionais: se p/q (fração irredutível) é raiz de um polinômio de coeficientes inteiros, p divide o termo independente e q divide o coeficiente líder.
  • Listar todos os candidatos p/q, incluindo positivos e negativos.
  • Testar os candidatos usando o Teorema de D'Alembert (P(a)=0).
  • Encontrar todas as raízes racionais de um polinômio de grau 3.

Conhecimentos prévios

  • Teorema de D'Alembert, Módulo 10, Aula 179.
  • Divisores de um número inteiro, Módulo 1.

Recursos didáticos

  • Apresentação de slides — Possor_MatAula184_Apresentacao.pptx.
  • Quadro/lousa e material de escrita.
  • GeoGebra CAS, para conferir as raízes encontradas resolvendo a equação diretamente.

Desenvolvimento da aula

Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios

5 min · Ausubel — ativação de subsunçores

O professor pergunta: dado um polinômio como 2x3−3x2−3x+2, existe um jeito de listar só os candidatos a raiz racional que VALE a pena testar, em vez de tentar números ao acaso?

Problematização Inicial

5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipado

Escrever no quadro os candidatos "1, 2, 1/2" (só positivos) para 2x3−3x2−3x+2 e perguntar: essa lista está completa? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): esquecer os candidatos NEGATIVOS (divisores negativos de p e q também geram candidatos) faz perder raízes reais do polinômio.

Desenvolvimento Conceitual

20 min · Exposição dialogada

Apresentação dos slides 2 a 9: no Teorema das Raízes Racionais, p percorre os divisores (positivos E negativos) do termo independente, q os divisores (positivos e negativos) do coeficiente líder. Resolvendo a pergunta do Momento 2, para 2x3−3x2−3x+2 (p divide 2: ±1,±2; q divide 2: ±1,±2): candidatos completos são ±1,±2,±1/2. Testando: P(1)=−2 (não), P(−1)=0 (raiz!), P(2)=0 (raiz!), P(1/2)=0 (raiz!) — a lista incompleta (só positivos) teria perdido a raiz x=−1.

Resolução Guiada

10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento Proximal

Resolução guiada: coletivamente, testar cada candidato de 2x3−3x2−3x+2 usando o Teorema de D'Alembert, confirmando as três raízes −1, 2 e 1/2. Em duplas: listar os candidatos (positivos e negativos) para x3−7x+6 e identificar quais são raízes.

Exercícios de Fixação

7 min · Prática independente

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Síntese e Fechamento

3 min · Consolidação (fechamento circular)

Retomar a pergunta do Momento 1 e 2: a lista de candidatos do teorema inclui positivos E negativos — esquecer os negativos é a forma mais comum de perder uma raiz real.

Avaliação formativa

Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.

Lista de exercícios

1. Liste os candidatos a raiz racional de 2x3−3x2−3x+2, pelo Teorema das Raízes Racionais.

Gabarito: ±1, ±2, ±1/2 (divisores de 2 sobre divisores de 2).

2. Teste se x=−1 é raiz de 2x3−3x2−3x+2.

Gabarito: P(−1)=−2−3+3+2=0, então sim, é raiz.

3. Teste se x=1/2 é raiz de 2x3−3x2−3x+2.

Gabarito: P(1/2)=2(1/8)−3(1/4)−3(1/2)+2=0,25−0,75−1,5+2=0, então sim, é raiz.

4. Quais são as três raízes de 2x3−3x2−3x+2?

Gabarito: x=−1, x=2 e x=1/2.

5. Liste os candidatos a raiz racional de x3−7x+6 (coeficiente líder 1).

Gabarito: ±1, ±2, ±3, ±6 (divisores de 6, já que o coeficiente líder é 1).

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