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Aula 189 — Igualdade e conjugado de números complexos

50 min
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Objetivo geral

Aplicar o critério de igualdade entre números complexos e calcular o conjugado, distinguindo conjugado de oposto.

Objetivos específicos

  • Reconhecer que dois complexos são iguais somente quando partes reais e imaginárias, respectivamente, são iguais.
  • Calcular o conjugado de um número complexo, trocando o sinal apenas da parte imaginária.
  • Distinguir o conjugado do oposto de um número complexo.
  • Verificar que o mesmo módulo não garante igualdade entre dois complexos.

Conhecimentos prévios

  • Forma algébrica dos números complexos, Módulo 11, Aula 188.
  • Operações com números com sinal (positivo/negativo), Módulo 1.

Recursos didáticos

  • Apresentação de slides — Possor_MatAula189_Apresentacao.pptx.
  • Quadro/lousa e material de escrita.
  • Calculadora, para conferir cálculos de conjugado e comparação de complexos.

Desenvolvimento da aula

Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios

5 min · Ausubel — ativação de subsunçores

O professor pergunta: z1=2+3i e z2=3+2i têm as mesmas partes (2 e 3, só trocadas de lugar) — são o mesmo número complexo?

Problematização Inicial

5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipado

Escrever no quadro z1=2+3i e z2=3+2i, perguntando se são iguais. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): dois complexos só são iguais se a parte real de um bate com a parte real do outro E a parte imaginária de um bate com a parte imaginária do outro — trocar as partes de lugar dá um número DIFERENTE.

Desenvolvimento Conceitual

20 min · Exposição dialogada

Apresentação dos slides 2 a 9: a+bi=c+di se, e somente se, a=c e b=d; o conjugado de z=a+bi é z̄=a−bi (troca só o sinal da parte imaginária); o oposto de z é −z=−a−bi (troca o sinal das duas partes). Resolvendo a pergunta do Momento 2: z1=2+3i≠z2=3+2i, pois 2≠3 (partes reais diferentes) — mesmo tendo os mesmos dois números, em ordem trocada, não são iguais.

Resolução Guiada

10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento Proximal

Resolução guiada: calcular coletivamente o conjugado e o oposto de z=4−5i. Em duplas: verificar se z=1+7i e w=7+1i são iguais, e calcular o conjugado de cada um.

Exercícios de Fixação

7 min · Prática independente

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Síntese e Fechamento

3 min · Consolidação (fechamento circular)

Retomar a pergunta do Momento 1: z1≠z2 porque as partes reais são diferentes — a ordem das partes não pode ser trocada.

Avaliação formativa

Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.

Lista de exercícios

1. z=2+3i e w=3+2i são iguais?

Gabarito: Não — a parte real de z (2) é diferente da parte real de w (3).

2. Calcule o conjugado de z=4−5i.

Gabarito: z̄=4+5i.

3. Calcule o oposto de z=4−5i.

Gabarito: −z=−4+5i.

4. Qual a diferença entre conjugado e oposto de um complexo?

Gabarito: O conjugado troca só o sinal da parte imaginária; o oposto troca o sinal das duas partes.

5. z=3+4i e w=−3−4i têm o mesmo módulo. Eles são iguais?

Gabarito: Não — mesmo com o mesmo módulo, as partes reais e imaginárias são diferentes (opostas), então z≠w.

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