Aula 191 — Multiplicação de complexos
50 minObjetivo geral
Multiplicar números complexos aplicando a distributividade e substituindo i2=−1 no resultado.
Objetivos específicos
- Aplicar a distributividade na multiplicação de dois complexos.
- Substituir i2=−1 ao simplificar o resultado da multiplicação.
- Reconhecer que deixar i2 no resultado final é um erro — precisa ser convertido a um número real.
- Calcular produtos de complexos, incluindo o produto de um complexo pelo seu conjugado.
Conhecimentos prévios
- Adição e subtração de complexos, Módulo 11, Aula 190.
- Multiplicação de binômios (produto notável), Módulo 5.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula191_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- GeoGebra, para conferir produtos de números complexos digitando as expressões.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: multiplicando (2+3i)(1+4i) pela distributiva, o termo 3i×4i=12i2 pode ficar assim no resultado final?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever no quadro "(2+3i)(1+4i)=2+8i+3i+12i2" e perguntar: essa é a resposta final? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): i não é uma variável comum — sempre que aparecer i2 no meio da conta, ele precisa ser substituído por −1 antes de dar o resultado final.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: multiplica-se como produto de binômios, e no final substitui-se i2 por −1, simplificando. Resolvendo a pergunta do Momento 2: (2+3i)(1+4i)=2+8i+3i+12i2=2+11i+12(−1)=2+11i−12=−10+11i — não pode parar em "12i2", precisa converter.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: calcular coletivamente (1+2i)(3−i). Em duplas: calcular o produto de z=3+4i pelo seu conjugado z̄=3−4i, observando o que acontece com a parte imaginária do resultado.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: i2 sempre vira −1 antes do resultado final — nunca fica "pendurado" na resposta.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Calcule (2+3i)(1+4i).
Gabarito: 2+8i+3i+12i2=2+11i−12=−10+11i.
2. Calcule (1+2i)(3−i).
Gabarito: 3−i+6i−2i2=3+5i+2=5+5i.
3. Calcule z×z̄ para z=3+4i, z̄=3−4i.
Gabarito: 9−12i+12i−16i2=9+16=25 (um número real).
4. Encontre o erro: "(1+i)(1+i)=1+2i+i2=1+2i−1" — falta terminar. Qual o resultado final?
Gabarito: 1+2i−1=2i (a parte real 1−1 se cancela, sobra só a imaginária).
5. Calcule i×i×i (ou seja, i3).
Gabarito: i2×i=(−1)×i=−i.