Aula 192 — Divisão de números complexos
50 minObjetivo geral
Dividir números complexos multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador, eliminando i do denominador.
Objetivos específicos
- Reconhecer que dividir complexos parte a parte (real por real, imaginária por imaginária) está errado.
- Multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador.
- Simplificar o denominador, que se torna um número real (z×z̄ é sempre real).
- Escrever o resultado final na forma algébrica a+bi.
Conhecimentos prévios
- Multiplicação de complexos e produto por conjugado, Módulo 11, Aula 191.
- Racionalização de denominadores com radicais, Módulo 3.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula192_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- GeoGebra, para conferir divisões de números complexos digitando as expressões.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: (2+3i)÷(1+4i) pode ser calculado dividindo a parte real pela parte real e a imaginária pela imaginária, separadamente?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever no quadro "(2+3i)÷(1+4i) = 2÷1 + 3÷4 i" e perguntar: essa divisão está certa? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): divisão de complexos não funciona parte a parte — é preciso eliminar i do denominador antes, multiplicando pelo conjugado.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: multiplica-se numerador e denominador pelo conjugado do denominador; como z×z̄ sempre resulta num número real, o denominador vira real e a divisão fica simples. Resolvendo a pergunta do Momento 2: (2+3i)÷(1+4i) × (1−4i)/(1−4i) = (14−5i)/17 = 14/17−5/17 i — bem diferente do resultado "parte a parte" (errado).
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: dividir coletivamente (1+i)÷(1−i), multiplicando pelo conjugado do denominador. Em duplas: dividir (3+2i)÷i, multiplicando pelo conjugado de i.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: divisão de complexos sempre passa pelo conjugado do denominador — nunca divide parte a parte.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Calcule (2+3i)÷(1+4i).
Gabarito: Multiplicando por (1−4i)/(1−4i): numerador 14−5i, denominador 17. Resultado: 14/17−5/17 i.
2. Calcule (1+i)÷(1−i).
Gabarito: Multiplicando por (1+i)/(1+i): numerador 2i, denominador 2. Resultado: i.
3. Calcule (3+2i)÷i.
Gabarito: Multiplicando por (−i)/(−i): numerador 2−3i, denominador 1. Resultado: 2−3i.
4. Por que multiplicar pelo conjugado do denominador sempre funciona?
Gabarito: Porque z×z̄=a2+b2, sempre um número real — elimina i do denominador.
5. Encontre o erro: "(2+3i)÷(1+4i) = 2÷1 + (3÷4)i".
Gabarito: Divisão de complexos não é parte a parte — é preciso multiplicar pelo conjugado do denominador primeiro.