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Aula 194 — Módulo de um número complexo

50 min
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Objetivo geral

Calcular o módulo de um número complexo como a distância euclidiana até a origem no plano de Argand-Gauss, usando o Teorema de Pitágoras.

Objetivos específicos

  • Definir o módulo de z=a+bi como |z|=√(a2+b2).
  • Reconhecer o módulo como a distância do ponto (a,b) até a origem, via Pitágoras.
  • Calcular o módulo de números complexos diversos.
  • Reconhecer que |a|+|b| não é o módulo do complexo.

Conhecimentos prévios

  • Plano de Argand-Gauss, Módulo 11, Aula 193.
  • Teorema de Pitágoras, Módulo 12 (Geometria) — noção prévia do Ensino Fundamental.

Recursos didáticos

  • Apresentação de slides — Possor_MatAula194_Apresentacao.pptx.
  • Quadro/lousa e material de escrita.
  • GeoGebra (Plano de Argand-Gauss), para medir visualmente a distância de z até a origem.

Desenvolvimento da aula

Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios

5 min · Ausubel — ativação de subsunçores

O professor pergunta: o módulo de z=3+4i é a soma das partes, |3|+|4|=7?

Problematização Inicial

5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipado

Escrever no quadro z=3+4i, representado no plano (Aula 193) como o ponto (3,4), e perguntar: qual é a distância desse ponto até a origem? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): a distância até a origem não é a soma |a|+|b| — é a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos a e b, calculada por Pitágoras.

Desenvolvimento Conceitual

20 min · Exposição dialogada

Apresentação dos slides 2 a 9: |z|=√(a2+b2), a distância euclidiana do ponto (a,b) até a origem (0,0), por Pitágoras. Resolvendo a pergunta do Momento 2: |3+4i|=√(32+42)=√(9+16)=√25=5 — não 7 (a soma |3|+|4|), e sim 5, o famoso triângulo 3-4-5.

Resolução Guiada

10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento Proximal

Resolução guiada: calcular coletivamente |6+8i| (outro triângulo proporcional ao 3-4-5). Em duplas: calcular |1+1i| e |−2+2i|.

Exercícios de Fixação

7 min · Prática independente

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Síntese e Fechamento

3 min · Consolidação (fechamento circular)

Retomar a pergunta do Momento 1: o módulo é a hipotenusa (Pitágoras), nunca a soma direta das partes.

Avaliação formativa

Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.

Lista de exercícios

1. Calcule |3+4i|.

Gabarito: √(32+42)=√25=5.

2. Calcule |3|+|4| e compare com |3+4i|.

Gabarito: |3|+|4|=7, diferente de |3+4i|=5 — não são a mesma coisa.

3. Calcule |6+8i|.

Gabarito: √(36+64)=√100=10.

4. Calcule |1+i|.

Gabarito: √(1+1)=√2.

5. Calcule |−2+2i|.

Gabarito: √(4+4)=√8=2√2.

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