Aula 195 — Forma trigonométrica dos números complexos
50 minObjetivo geral
Escrever um número complexo na forma trigonométrica z=r(cosθ+isenθ), identificando corretamente o quadrante do argumento θ.
Objetivos específicos
- Calcular o módulo r de um número complexo.
- Calcular o argumento θ, verificando o quadrante correto a partir dos sinais de a e b.
- Escrever a forma trigonométrica z=r(cosθ+isenθ).
- Reconhecer que a tangente sozinha não determina o quadrante do ângulo.
Conhecimentos prévios
- Módulo de um número complexo, Módulo 11, Aula 194.
- Razões trigonométricas (seno, cosseno, tangente), Módulo 13 (Trigonometria) — noção prévia do Ensino Fundamental/Médio.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula195_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- GeoGebra (Plano de Argand-Gauss), para visualizar o ângulo θ de um número complexo.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: z=−3−4i e w=3+4i têm tan θ=4/3 em módulo — os dois têm o mesmo argumento θ?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever no quadro "tan θ=4/3 para os dois, logo θ≈53° nos dois casos" e perguntar: essa conclusão está certa? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): a tangente sozinha não diz em que quadrante está o ângulo — z e w estão em quadrantes diferentes (w no 1º quadrante, z no 3º), com argumentos diferentes, mesmo com a mesma razão tan θ.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: r=|z|=√(a2+b2) (Aula 194); o argumento θ satisfaz cosθ=a/r e senθ=b/r — os sinais de a e b (não só a tangente) definem o quadrante. Resolvendo a pergunta do Momento 2: w=3+4i está no 1º quadrante (a>0,b>0), θ≈53,13°; z=−3−4i está no 3º quadrante (a<0,b<0), θ≈180°+53,13°=233,13° — argumentos bem diferentes, apesar da mesma tangente.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: escrever coletivamente a forma trigonométrica de w=3+4i (r=5, θ≈53,13°). Em duplas: identificar o quadrante e escrever a forma trigonométrica de z=−3−4i (r=5, θ≈233,13°).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: a tangente repete de quadrante em quadrante — sempre confira os sinais de a e b para saber o quadrante certo de θ.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Calcule o módulo r de z=3+4i.
Gabarito: r=√(9+16)=5.
2. Em que quadrante está w=3+4i? E z=−3−4i?
Gabarito: w está no 1º quadrante (a>0,b>0); z está no 3º quadrante (a<0,b<0).
3. w=3+4i e z=−3−4i têm a mesma tangente (4/3). Eles têm o mesmo argumento θ?
Gabarito: Não — apesar da mesma tangente, estão em quadrantes diferentes: θ(w)≈53,13° e θ(z)≈233,13°.
4. Escreva a forma trigonométrica de w=3+4i (aproximando θ).
Gabarito: w=5(cos53,13°+isen53,13°).
5. Escreva a forma trigonométrica de z=−3−4i (aproximando θ).
Gabarito: z=5(cos233,13°+isen233,13°).