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Aula 196 — Multiplicação e divisão na forma trigonométrica

50 min
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Objetivo geral

Multiplicar e dividir números complexos na forma trigonométrica, reconhecendo que os módulos se multiplicam/dividem mas os argumentos se SOMAM/SUBTRAEM.

Objetivos específicos

  • Multiplicar dois complexos na forma trigonométrica, multiplicando os módulos e SOMANDO os argumentos.
  • Dividir dois complexos na forma trigonométrica, dividindo os módulos e SUBTRAINDO os argumentos.
  • Reconhecer que os argumentos não se multiplicam entre si na multiplicação.
  • Verificar o resultado convertendo de volta para a forma algébrica.

Conhecimentos prévios

  • Forma trigonométrica dos números complexos, Módulo 11, Aula 195.
  • Multiplicação de complexos na forma algébrica, Módulo 11, Aula 191.

Recursos didáticos

  • Apresentação de slides — Possor_MatAula196_Apresentacao.pptx.
  • Quadro/lousa e material de escrita.
  • Lista de multiplicações e divisões na forma trigonométrica, de dificuldade crescente.

Desenvolvimento da aula

Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios

5 min · Ausubel — ativação de subsunçores

O professor pergunta: multiplicando z1=2(cos30°+isen30°) por z2=3(cos60°+isen60°), os módulos se multiplicam (2×3=6) — e os ângulos, também se multiplicam (30°×60°)?

Problematização Inicial

5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipado

Escrever no quadro "6(cos1800°+isen1800°)" (ângulos multiplicados) e perguntar: esse resultado está certo? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): na multiplicação de complexos, os módulos se multiplicam, mas os ARGUMENTOS SE SOMAM — não se multiplicam.

Desenvolvimento Conceitual

20 min · Exposição dialogada

Apresentação dos slides 2 a 9: z1×z2=r_1r2[cos(θ_1+θ_2)+isen(θ_1+θ_2)]; na divisão, z1÷z2=(r1/r2)[cos(θ_1−θ_2)+isen(θ_1−θ_2)]. Resolvendo a pergunta do Momento 2: z1×z2=2×3[cos(30°+60°)+isen(30°+60°)]=6(cos90°+isen90°)=6i — os ângulos SOMAM (30+60=90), não multiplicam.

Resolução Guiada

10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento Proximal

Resolução guiada: calcular coletivamente z1÷z2 para os mesmos z1 e z2 (módulo 2/3, ângulo 30°−60°=−30°). Em duplas: multiplicar w1=4(cos45°+isen45°) por w2=2(cos15°+isen15°).

Exercícios de Fixação

7 min · Prática independente

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Síntese e Fechamento

3 min · Consolidação (fechamento circular)

Retomar a pergunta do Momento 1: na multiplicação, módulos multiplicam e argumentos SOMAM — nunca multiplicam os ângulos.

Avaliação formativa

Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.

Lista de exercícios

1. Multiplique z1=2(cos30°+isen30°) por z2=3(cos60°+isen60°).

Gabarito: 6(cos90°+isen90°)=6i.

2. Divida z1=2(cos30°+isen30°) por z2=3(cos60°+isen60°).

Gabarito: (2/3)(cos(−30°)+isen(−30°)).

3. Multiplique w1=4(cos45°+isen45°) por w2=2(cos15°+isen15°).

Gabarito: 8(cos60°+isen60°).

4. Encontre o erro: "multiplicando dois complexos na forma trigonométrica, os ângulos se multiplicam."

Gabarito: Os ângulos se SOMAM na multiplicação (e subtraem na divisão), nunca multiplicam.

5. Se z1 tem módulo 5 e argumento 40°, e z2 tem módulo 2 e argumento 20°, qual o módulo e o argumento de z1×z2?

Gabarito: Módulo 10 (5×2), argumento 60° (40°+20°).

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