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Aula 205 — Crescimento e decrescimento

50 min
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Objetivo geral

Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de uma função, comparando f(x1) e f(x2) para x1<x2, sem julgar pelo formato geral da curva.

Objetivos específicos

  • Definir função crescente num intervalo: x1<x2 implica f(x1)<f(x2).
  • Definir função decrescente num intervalo: x1<x2 implica f(x1)>f(x2).
  • Identificar os intervalos de crescimento e decrescimento de uma função a partir de valores calculados.
  • Reconhecer que uma função pode ser decrescente numa parte do domínio e crescente em outra.

Conhecimentos prévios

  • Zeros de uma função, Módulo 12, Aula 204.
  • Função do 2º grau (parábola, vértice), Módulo 9.

Recursos didáticos

  • Apresentação de slides — Possor_MatAula205_Apresentacao.pptx.
  • Quadro/lousa e material de escrita.
  • Desmos Graphing Calculator, para visualizar o crescimento e decrescimento de f(x)=x2−4x.

Desenvolvimento da aula

Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios

5 min · Ausubel — ativação de subsunçores

O professor pergunta: uma parábola que sobe no final do gráfico é sempre crescente, do início ao fim?

Problematização Inicial

5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipado

Escrever no quadro o gráfico de f(x)=x2−4x e perguntar: como ele sobe bastante do lado direito, a função é crescente em todo o domínio? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): julgar crescimento só pelo formato geral ("sobe no final") ignora que a função pode decrescer numa parte do domínio antes de crescer — é preciso comparar f(x1) e f(x2) em cada intervalo.

Desenvolvimento Conceitual

20 min · Exposição dialogada

Apresentação dos slides 2 a 9: crescente: x1<x2 implica f(x1)<f(x2); decrescente: x1<x2 implica f(x1)>f(x2). Resolvendo a pergunta do Momento 2: para f(x)=x2−4x, calculando f(0)=0, f(1)=−3, f(2)=−4, f(3)=−3, f(4)=0 — a função DECRESCE de x=0 a x=2, e só depois CRESCE de x=2 a x=4; não é crescente o tempo todo.

Resolução Guiada

10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento Proximal

Resolução guiada: calcular coletivamente f(x)=x2−4x em x=1,5 e x=2,5, confirmando que ainda estão, respectivamente, no trecho decrescente e no crescente. Em duplas: identificar em que intervalo g(x)=−x2+6x é crescente e em que intervalo é decrescente (vértice em x=3).

Exercícios de Fixação

7 min · Prática independente

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Síntese e Fechamento

3 min · Consolidação (fechamento circular)

Retomar a pergunta do Momento 1: não é crescente o tempo todo — decresce até x=2 (o vértice) e só depois cresce; o formato geral do gráfico pode enganar.

Avaliação formativa

Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.

Lista de exercícios

1. Calcule f(0), f(1) e f(2) para f(x)=x2−4x.

Gabarito: f(0)=0, f(1)=−3, f(2)=−4.

2. Nesse trecho (x=0 a x=2), f(x)=x2−4x é crescente ou decrescente?

Gabarito: Decrescente — os valores caem de 0 para −3 para −4.

3. Calcule f(3) e f(4) para f(x)=x2−4x, e diga se a função cresce ou decresce nesse trecho.

Gabarito: f(3)=−3, f(4)=0 — crescente (os valores sobem de −4 para −3 para 0).

4. f(x)=x2−4x é crescente em todo o domínio?

Gabarito: Não — decresce até x=2 (o vértice da parábola) e só depois cresce.

5. Para g(x)=−x2+6x, com vértice em x=3, em que intervalo g é crescente?

Gabarito: Crescente para x<3, decrescente para x>3 (parábola com concavidade para baixo).

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