Aula 207 — Funções injetoras
50 minObjetivo geral
Aplicar o teste da reta horizontal para verificar se uma função é injetora, sem confundir com a impressão visual de "parecer crescente".
Objetivos específicos
- Definir função injetora: elementos diferentes do domínio têm imagens diferentes.
- Aplicar o teste da reta horizontal: injetora se toda reta horizontal cruza o gráfico no máximo uma vez.
- Verificar que f(x)=2x+1 é injetora e que f(x)=x2 (em R) não é.
- Reconhecer que a aparência do gráfico não substitui o teste formal.
Conhecimentos prévios
- Representação gráfica de funções (teste da reta vertical), Módulo 12, Aula 203.
- Domínio, contradomínio e imagem, Módulo 12, Aula 202.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula207_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Desmos Graphing Calculator, para aplicar o teste da reta horizontal em f(x)=2x+1 e f(x)=x2.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: um gráfico que parece "sempre subindo" já garante que a função é injetora?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever no quadro o gráfico de f(x)=x2 e perguntar: essa função é injetora? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): a aparência do gráfico não basta — é preciso aplicar o teste da reta horizontal de verdade, verificando se algum valor y é atingido por dois x diferentes.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: função injetora — elementos diferentes do domínio têm imagens diferentes; teste da reta horizontal: se alguma reta horizontal cruzar o gráfico mais de uma vez, NÃO é injetora. Resolvendo a pergunta do Momento 2: f(x)=x2 NÃO é injetora, pois f(2)=f(−2)=4 — a reta horizontal y=4 cruza o gráfico duas vezes.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: aplicar coletivamente o teste da reta horizontal em g(x)=2x+1 (injetora — toda horizontal cruza só uma vez). Em duplas: verificar se h(x)=|x| é injetora (não é, mesmo raciocínio de x2: h(2)=h(−2)=2).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: aparência não garante nada — só o teste da reta horizontal (ou calcular f(a)=f(b) implica a=b) confirma injetividade.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. f(x)=x2 (domínio R) é injetora? Justifique.
Gabarito: Não — f(2)=f(−2)=4, dois valores diferentes de x dão a mesma imagem.
2. f(x)=2x+1 é injetora? Justifique.
Gabarito: Sim — para f(a)=f(b), 2a+1=2b+1 implica a=b, sempre.
3. O teste da reta horizontal serve para verificar o quê?
Gabarito: Se a função é injetora.
4. h(x)=|x| é injetora?
Gabarito: Não — h(2)=h(−2)=2, mesmo raciocínio de x2.
5. Um gráfico que parece sempre subindo garante injetividade?
Gabarito: Não necessariamente — é preciso aplicar o teste da reta horizontal (ou verificar algebricamente) para confirmar.