Aula 208 — Funções sobrejetoras
50 minObjetivo geral
Compreender o conceito de função sobrejetora, reconhecendo que a definição exige imagem igual ao CONTRADOMÍNIO, não ao domínio.
Objetivos específicos
- Definir função sobrejetora: a imagem é igual ao contradomínio inteiro.
- Verificar se uma função é sobrejetora, comparando imagem e contradomínio.
- Reconhecer que "todo x tem imagem" não é a definição de sobrejetora (isso já vale para toda função).
- Identificar funções sobrejetoras e não-sobrejetoras em exemplos.
Conhecimentos prévios
- Domínio, contradomínio e imagem, Módulo 12, Aula 202.
- Funções injetoras, Módulo 12, Aula 207.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula208_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Desmos Graphing Calculator, para comparar as imagens de f(x)=x3 e f(x)=x2.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: f:R→R, f(x)=x2 é sobrejetora, já que todo x real tem uma imagem?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever no quadro "todo x tem imagem, então f(x)=x2 é sobrejetora" e perguntar: esse raciocínio está certo? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): "todo x ter imagem" é só a definição de FUNÇÃO (Aula 201) — sobrejetora exige que a IMAGEM seja igual ao CONTRADOMÍNIO inteiro, não que todo x tenha saída.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: função sobrejetora — imagem = contradomínio (todo elemento do contradomínio é atingido por algum x). Resolvendo a pergunta do Momento 2: f:R→R, f(x)=x2 NÃO é sobrejetora, pois a imagem é [0,+∞), diferente do contradomínio R (números negativos nunca são atingidos).
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: verificar coletivamente que g:R→R, g(x)=x3 É sobrejetora (todo real tem raiz cúbica real, então a imagem é R, igual ao contradomínio). Em duplas: verificar se h:R→R, h(x)=x+3 é sobrejetora (é, pois para todo y existe x=y−3).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: "todo x ter imagem" é só a definição de função — sobrejetora é sobre a imagem cobrir o contradomínio inteiro, um critério diferente.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. f:R→R, f(x)=x2 é sobrejetora? Justifique.
Gabarito: Não — a imagem é [0,+∞), diferente do contradomínio R (números negativos nunca são atingidos).
2. g:R→R, g(x)=x3 é sobrejetora? Justifique.
Gabarito: Sim — todo número real tem raiz cúbica real, então a imagem é R, igual ao contradomínio.
3. "Todo x tem uma imagem" é a definição de função ou de sobrejetora?
Gabarito: É a definição de função — sobrejetora exige, além disso, que a imagem cubra todo o contradomínio.
4. h:R→R, h(x)=x+3 é sobrejetora? Justifique.
Gabarito: Sim — para qualquer y real, existe x=y−3 tal que h(x)=y.
5. Para uma função ser sobrejetora, o que precisa ser verdade sobre imagem e contradomínio?
Gabarito: Imagem = contradomínio (todo elemento do contradomínio precisa ser atingido).