Aula 209 — Funções bijetoras
50 minObjetivo geral
Compreender o conceito de função bijetora, reconhecendo que exige ser injetora E sobrejetora simultaneamente.
Objetivos específicos
- Definir função bijetora como aquela que é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.
- Verificar se uma função é bijetora, checando as duas condições separadamente.
- Reconhecer que satisfazer só uma das duas condições não é suficiente.
- Ajustar domínio/contradomínio de uma função para torná-la bijetora, quando possível.
Conhecimentos prévios
- Funções injetoras, Módulo 12, Aula 207.
- Funções sobrejetoras, Módulo 12, Aula 208.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula209_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Desmos Graphing Calculator, para comparar f(x)=x2 em R→R e em [0,+∞)→[0,+∞).
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: uma função que é injetora já pode ser chamada de bijetora?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever no quadro "f(x)=2x+1 é injetora (Aula 207), então já é bijetora" e perguntar: essa conclusão está certa? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): bijetora exige as DUAS condições ao mesmo tempo — ser injetora sozinha não basta, é preciso também ser sobrejetora.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: função bijetora = injetora E sobrejetora, as duas ao mesmo tempo. Resolvendo a pergunta do Momento 2: f(x)=2x+1 é injetora (Aula 207) E sobrejetora em R→R (para todo y existe x=(y−1)/2), então SIM é bijetora — mas isso exigiu checar as duas condições, não só uma.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: verificar coletivamente que f:R→R, f(x)=x2 NÃO é bijetora (não é injetora nem sobrejetora, Aulas 207 e 208). Em duplas: verificar que, restringindo para f:[0,+∞)→[0,+∞), f(x)=x2 PASSA a ser bijetora (injetora e sobrejetora nesse domínio/contradomínio restritos).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: injetora sozinha não basta — bijetora exige as duas condições, injetora E sobrejetora, ao mesmo tempo.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. f(x)=2x+1 (R→R) é bijetora? Justifique.
Gabarito: Sim — é injetora (Aula 207) e sobrejetora (para todo y, existe x=(y−1)/2), as duas condições.
2. f:R→R, f(x)=x2 é bijetora?
Gabarito: Não — não é injetora (f(2)=f(−2)) nem sobrejetora (imagem [0,+∞)≠R).
3. Restringindo para f:[0,+∞)→[0,+∞), f(x)=x2 passa a ser bijetora?
Gabarito: Sim — nesse domínio e contradomínio restritos, f(x)=x2 é injetora e sobrejetora.
4. Uma função injetora é automaticamente bijetora?
Gabarito: Não — também precisa ser sobrejetora.
5. O que uma função precisa satisfazer para ser chamada de bijetora?
Gabarito: Ser injetora E sobrejetora, as duas condições simultaneamente.