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Aula 210 — Função inversa

50 min
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Objetivo geral

Calcular a função inversa de uma função bijetora, reconhecendo que o processo mecânico só produz uma função de verdade quando a função original é bijetora.

Objetivos específicos

  • Reconhecer que só funções bijetoras têm função inversa.
  • Calcular a inversa trocando x por y na equação e isolando y.
  • Verificar a inversa conferindo que f(f-1(x))=x.
  • Reconhecer que aplicar o processo numa função não-bijetora não produz uma função válida.

Conhecimentos prévios

  • Funções bijetoras, Módulo 12, Aula 209.
  • Isolar variáveis em equações, Módulo 6.

Recursos didáticos

  • Apresentação de slides — Possor_MatAula210_Apresentacao.pptx.
  • Quadro/lousa e material de escrita.
  • Desmos Graphing Calculator, para visualizar f(x)=2x+1 e sua inversa refletidas na reta y=x.

Desenvolvimento da aula

Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios

5 min · Ausubel — ativação de subsunçores

O professor pergunta: toda função tem uma inversa, bastando trocar x por y e isolar?

Problematização Inicial

5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipado

Escrever no quadro "y=x2, trocando x por y: x=y2, logo y=±√x, essa é a inversa de f(x)=x2" e perguntar: essa "inversa" é realmente uma função? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): o processo mecânico de trocar x por y só produz uma função de verdade quando a função original é BIJETORA — aplicado numa que não é (como x2 em R→R), o resultado (y=±√x) não é função, pois dá duas saídas para um mesmo x.

Desenvolvimento Conceitual

20 min · Exposição dialogada

Apresentação dos slides 2 a 9: só funções bijetoras têm inversa; para calcular, troca-se x por y, isola-se y, e f-1(x) é o resultado. Resolvendo a pergunta do Momento 2: para f(x)=2x+1 (bijetora, Aula 209), y=2x+1 → x=2y+1 → y=(x−1)/2, então f-1(x)=(x−1)/2 — uma função de verdade, pois f é bijetora; já x2 (não bijetora em R→R) não gera inversa válida assim.

Resolução Guiada

10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento Proximal

Resolução guiada: verificar coletivamente que f(f-1(x))=x para f(x)=2x+1 e f-1(x)=(x−1)/2 (substituindo: f((x−1)/2)=2·(x−1)/2+1=x−1+1=x). Em duplas: calcular a inversa de g(x)=3x−6 e verificar.

Exercícios de Fixação

7 min · Prática independente

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Síntese e Fechamento

3 min · Consolidação (fechamento circular)

Retomar a pergunta do Momento 1: nem toda função tem inversa — só as bijetoras; aplicar o processo mecânico numa não-bijetora não gera uma função válida.

Avaliação formativa

Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.

Lista de exercícios

1. Calcule a inversa de f(x)=2x+1.

Gabarito: y=2x+1 → x=2y+1 → y=(x−1)/2. f-1(x)=(x−1)/2.

2. Verifique que f(f-1(x))=x para f(x)=2x+1 e f-1(x)=(x−1)/2.

Gabarito: f((x−1)/2)=2·(x−1)/2+1=(x−1)+1=x, confirma.

3. Por que f(x)=x2 (em R→R) não tem uma inversa que seja função?

Gabarito: Porque f(x)=x2 não é bijetora (Aula 209) — o processo mecânico dá y=±√x, que não é função (dois valores de y para um x).

4. Calcule a inversa de g(x)=3x−6.

Gabarito: y=3x−6 → x=3y−6 → y=(x+6)/3. g-1(x)=(x+6)/3.

5. Toda função tem inversa?

Gabarito: Não — só as funções bijetoras têm inversa que também é função.

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