Aula 211 — Composição de funções
50 minObjetivo geral
Calcular a composição de funções (f∘g)(x)=f(g(x)), reconhecendo que composição não é o mesmo que multiplicação e que a ordem importa.
Objetivos específicos
- Definir composição (f∘g)(x) como f(g(x)) — aplicar g primeiro, depois f no resultado.
- Calcular composições de funções algébricas simples.
- Reconhecer que (f∘g)(x) geralmente é diferente de (g∘f)(x).
- Distinguir composição de funções de multiplicação de funções.
Conhecimentos prévios
- Função inversa, Módulo 12, Aula 210.
- Substituição de expressões algébricas, Módulo 4.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula211_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Desmos Graphing Calculator, para conferir composições de funções calculando valores específicos.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: (f∘g)(x), com f(x)=2x+1 e g(x)=x2, é o mesmo que f(x)×g(x)?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever no quadro "(f∘g)(x)=f(x)×g(x)=(2x+1)(x2)" e perguntar: essa conta está certa? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): composição NÃO é multiplicação — (f∘g)(x) significa aplicar g primeiro, e DEPOIS aplicar f no resultado de g, não multiplicar as duas fórmulas.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: (f∘g)(x)=f(g(x)) — primeiro calcula g(x), depois substitui esse resultado dentro de f. Resolvendo a pergunta do Momento 2: (f∘g)(x)=f(g(x))=f(x2)=2x2+1 — bem diferente de f(x)×g(x)=(2x+1)(x2)=2x3+x2, que seria multiplicação, não composição.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: calcular coletivamente (g∘f)(x) para os mesmos f(x)=2x+1 e g(x)=x2 (g(f(x))=g(2x+1)=(2x+1)2=4x2+4x+1), comparando com (f∘g)(x)=2x2+1 — resultados diferentes, mostrando que a ordem importa. Em duplas: calcular (f∘g)(3) e (g∘f)(3) numericamente e conferir que batem com as fórmulas encontradas.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: composição não é multiplicação — (f∘g)(x) aplica g primeiro, f depois, e a ordem faz diferença no resultado.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Calcule (f∘g)(x) para f(x)=2x+1 e g(x)=x2.
Gabarito: (f∘g)(x)=f(g(x))=f(x2)=2x2+1.
2. Calcule (g∘f)(x) para os mesmos f e g.
Gabarito: (g∘f)(x)=g(f(x))=g(2x+1)=(2x+1)2=4x2+4x+1.
3. (f∘g)(x) e (g∘f)(x) são iguais nesse caso?
Gabarito: Não — 2x2+1 é diferente de 4x2+4x+1, mostrando que a ordem da composição importa.
4. Calcule f(x)×g(x) para f(x)=2x+1 e g(x)=x2, e compare com (f∘g)(x).
Gabarito: f(x)×g(x)=2x3+x2, bem diferente de (f∘g)(x)=2x2+1 — composição não é multiplicação.
5. Calcule (f∘g)(3) numericamente.
Gabarito: g(3)=9, f(9)=2×9+1=19.