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Aula 222 — Máximo e mínimo da função quadrática

50 min
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Objetivo geral

Reconhecer que o vértice da parábola é ponto de mínimo quando a>0 e ponto de máximo quando a<0, sem generalizar precipitadamente.

Objetivos específicos

  • Reconhecer que, se a>0, o vértice é ponto de MÍNIMO da função.
  • Reconhecer que, se a<0, o vértice é ponto de MÁXIMO da função.
  • Calcular o valor máximo ou mínimo de uma função quadrática.
  • Evitar a generalização precipitada de que toda parábola tem mínimo.

Conhecimentos prévios

  • Vértice da parábola, Módulo 13, Aula 221.
  • Gráfico da função quadrática (concavidade), Módulo 13, Aula 220.

Recursos didáticos

  • Apresentação de slides — Possor_MatAula222_Apresentacao.pptx.
  • Quadro/lousa e material de escrita.
  • Desmos Graphing Calculator, para comparar o vértice de f(x)=x2−4x+3 (mínimo) e g(x)=−x2+4x−3 (máximo).

Desenvolvimento da aula

Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios

5 min · Ausubel — ativação de subsunçores

O professor pergunta: depois de ver que o vértice de f(x)=x2−4x+3 é um mínimo, dá pra concluir que TODA parábola tem vértice de mínimo?

Problematização Inicial

5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipado

Escrever no quadro g(x)=−x2+4x−3 e perguntar: o vértice dessa função também é mínimo, como em f? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): generalizar de um exemplo (a>0, mínimo) para todos os casos ignora que, quando a<0, a concavidade inverte e o vértice vira MÁXIMO, não mínimo.

Desenvolvimento Conceitual

20 min · Exposição dialogada

Apresentação dos slides 2 a 9: a>0 (concavidade pra cima) → vértice é mínimo; a<0 (concavidade pra baixo) → vértice é máximo. Resolvendo a pergunta do Momento 2: g(x)=−x2+4x−3 tem a=−1<0, vértice em xv=2, yv=g(2)=−4+8−3=1 — esse vértice (2,1) é MÁXIMO, não mínimo, porque a concavidade é para baixo.

Resolução Guiada

10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento Proximal

Resolução guiada: confirmar coletivamente que f(x)=x2−4x+3 (a>0) tem mínimo em (2,−1) (Aula 221). Em duplas: calcular o vértice de h(x)=−2x2+8x−3 e classificar como máximo ou mínimo.

Exercícios de Fixação

7 min · Prática independente

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Síntese e Fechamento

3 min · Consolidação (fechamento circular)

Retomar a pergunta do Momento 1: não é sempre mínimo — o sinal de a decide, e generalizar de um único exemplo é arriscado.

Avaliação formativa

Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.

Lista de exercícios

1. Para f(x)=x2−4x+3 (a>0), o vértice (2,−1) é máximo ou mínimo?

Gabarito: Mínimo (a>0, concavidade para cima).

2. Para g(x)=−x2+4x−3 (a<0), calcule o vértice.

Gabarito: xv=−4/(2×−1)=2. yv=g(2)=−4+8−3=1. Vértice: (2,1).

3. O vértice de g(x)=−x2+4x−3 é máximo ou mínimo?

Gabarito: Máximo (a<0, concavidade para baixo).

4. Toda função quadrática tem vértice de mínimo?

Gabarito: Não — depende do sinal de a: mínimo se a>0, máximo se a<0.

5. Calcule e classifique o vértice de h(x)=−2x2+8x−3.

Gabarito: xv=−8/(2×−2)=2. yv=h(2)=−8+16−3=5. Vértice (2,5), máximo (a=−2<0).

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