Aula 223 — Estudo do sinal da função quadrática
50 minObjetivo geral
Estudar o sinal da função quadrática, reconhecendo que a ausência de raízes reais indica sinal constante, e não ausência de informação.
Objetivos específicos
- Relacionar o discriminante Δ com o número de raízes reais da função quadrática.
- Reconhecer que, quando Δ<0, a função tem sinal CONSTANTE em todo o domínio.
- Determinar se esse sinal constante é sempre positivo (a>0) ou sempre negativo (a<0).
- Verificar o sinal constante calculando o valor da função no vértice.
Conhecimentos prévios
- Discriminante e natureza das raízes, Módulo 9, Aula 167.
- Vértice da parábola, Módulo 13, Aula 221.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula223_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Desmos Graphing Calculator, para visualizar que f(x)=x2+2x+5 nunca cruza o eixo x.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: se uma função quadrática não tem raiz real (Δ<0), isso significa que não dá pra saber nada sobre o sinal dela?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever no quadro f(x)=x2+2x+5 (Δ<0, sem raízes reais) e perguntar: sem raiz, fica impossível estudar o sinal dessa função? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): a ausência de raízes reais não é ausência de informação — na verdade, revela que a função tem sinal CONSTANTE em todo o domínio, uma informação bem específica.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: quando Δ<0, a parábola nunca cruza o eixo x — fica inteira acima (se a>0) ou inteira abaixo (se a<0) do eixo. Resolvendo a pergunta do Momento 2: para f(x)=x2+2x+5, Δ=4−20=−16<0; como a=1>0, a função é POSITIVA para todo x real — confirma calculando o vértice: xv=−1, yv=f(−1)=1−2+5=4>0 (o mínimo já é positivo, então toda a função é positiva).
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: verificar coletivamente que g(x)=−x2+2x−5 tem Δ<0 (Δ=4−20=−16) e, como a=−1<0, é NEGATIVA para todo x real. Em duplas: confirmar calculando o vértice de g e checando que o valor máximo já é negativo.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: sem raiz real, dá pra saber sim — o sinal é constante em todo o domínio, positivo se a>0, negativo se a<0.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Calcule o discriminante de f(x)=x2+2x+5.
Gabarito: Δ=4−20=−16<0 (sem raízes reais).
2. Como f(x)=x2+2x+5 tem a=1>0 e Δ<0, qual o sinal de f em todo o domínio?
Gabarito: Positiva para todo x real (sinal constante).
3. Calcule o vértice de f(x)=x2+2x+5 e confirme que o valor mínimo é positivo.
Gabarito: xv=−1, yv=f(−1)=1−2+5=4>0 — confirma que a função nunca é negativa.
4. g(x)=−x2+2x−5 tem Δ<0. Como a=−1<0, qual o sinal de g em todo o domínio?
Gabarito: Negativa para todo x real.
5. Δ<0 significa que não dá para estudar o sinal da função?
Gabarito: Não — significa que o sinal é constante em todo o domínio, positivo ou negativo conforme o sinal de a.