Aula 224 — Aplicações da função quadrática
50 minObjetivo geral
Resolver problemas de otimização com função quadrática, verificando se o vértice matemático está dentro do domínio válido do problema.
Objetivos específicos
- Modelar uma situação de máximo ou mínimo com função quadrática.
- Calcular o vértice para encontrar o valor ótimo matemático.
- Verificar se o x do vértice pertence ao domínio válido do problema (restrições do contexto).
- Ajustar a resposta para o valor de fronteira do domínio, quando o vértice cai fora dele.
Conhecimentos prévios
- Máximo e mínimo da função quadrática, Módulo 13, Aula 222.
- Vértice da parábola, Módulo 13, Aula 221.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula224_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Desmos Graphing Calculator, para visualizar a restrição de domínio num problema de otimização.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: numa função de lucro L(x)=−x2+20x−51, o vértice sempre dá a resposta certa do problema, sem checar mais nada?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever no quadro "o vértice de L(x) dá x=10 como quantidade ótima, então essa é sempre a resposta" e perguntar: essa conclusão está sempre certa? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): o vértice matemático pode cair FORA do domínio válido do problema (por exemplo, se a produção é limitada) — nesse caso, a resposta real é o valor de fronteira permitido, não o vértice.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: primeiro calcula-se o vértice matematicamente; depois verifica-se se o x do vértice respeita as restrições do problema (não-negatividade, capacidade máxima, etc.) — se não respeitar, a resposta é o valor de fronteira mais próximo. Resolvendo a pergunta do Momento 2: para L(x)=−x2+20x−51, o vértice é xv=10, L(10)=49 — SE a produção não tiver limite, x=10 é a resposta; mas se a capacidade máxima for 8 unidades, o máximo dentro do domínio [0,8] é em x=8 (fronteira), com L(8)=45, MENOR que 49.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: verificar coletivamente que L(x)=−x2+20x−51 é crescente até x=10 (Módulo 12, Aula 205), confirmando que, restrito a [0,8], o máximo dentro do domínio é na fronteira x=8. Em duplas: calcular L(10) e L(8) e comparar os dois valores.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: o vértice matemático nem sempre é a resposta válida — é preciso checar se ele respeita as restrições reais do problema.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Calcule o vértice de L(x)=−x2+20x−51.
Gabarito: xv=−20/(2×−1)=10. L(10)=−100+200−51=49.
2. Se a produção é limitada a no máximo 8 unidades, x=10 é uma resposta válida?
Gabarito: Não — está fora do domínio válido [0,8].
3. Calcule L(8) para L(x)=−x2+20x−51.
Gabarito: L(8)=−64+160−51=45.
4. Com a restrição de no máximo 8 unidades, qual é o lucro máximo válido?
Gabarito: 45 (em x=8, a fronteira do domínio, pois o vértice x=10 está fora).
5. Por que sempre é preciso checar o domínio antes de aceitar o vértice como resposta final?
Gabarito: Porque o vértice matemático pode cair fora dos valores válidos no contexto do problema (como quantidade negativa ou acima da capacidade máxima).