Aula 243 — Função logarítmica

50 min

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Objetivo geral

Compreender a função logarítmica como a função inversa da exponencial, reconhecendo domínio e imagem trocados em relação a ela.

Objetivos específicos

Definir a função logarítmica f(x)=log_a(x), com a>0 e a≠1.
Reconhecer a função logarítmica como a inversa da função exponencial de mesma base.
Reconhecer que o domínio da função logarítmica é (0,+∞) — o oposto da imagem da exponencial.
Reconhecer que a imagem da função logarítmica é R — o oposto do domínio da exponencial.

Conhecimentos prévios

Função inversa, Módulo 12, Aula 210.
Função exponencial: definição, Módulo 15, Aula 234.

Recursos didáticos

Apresentação de slides — Possor_MatAula243_Apresentacao.pptx.
Quadro/lousa e material de escrita.
Desmos Graphing Calculator, para comparar domínio e imagem de f(x)=2^x e g(x)=log₂(x).

Desenvolvimento da aula

Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios

5 min · Ausubel — ativação de subsunçores

O professor pergunta: sendo a função logarítmica a inversa da exponencial, o domínio e a imagem das duas são os mesmos?

Problematização Inicial

5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipado

Escrever no quadro "exponencial e logarítmica têm o mesmo domínio e imagem, pois uma é inversa da outra" e perguntar: essa afirmação está certa? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): ao inverter uma função (Módulo 12, Aula 210), domínio e imagem TROCAM de lugar — não continuam os mesmos.

Desenvolvimento Conceitual

20 min · Exposição dialogada

Apresentação dos slides 2 a 9: f(x)=a^x tem domínio R e imagem (0,+∞); sua inversa g(x)=log_a(x) tem domínio (0,+∞) e imagem R — os dois conjuntos trocaram de papel. Resolvendo a pergunta do Momento 2: a exponencial e a logarítmica NÃO têm o mesmo domínio e imagem — o domínio de uma é a imagem da outra, e vice-versa, exatamente como qualquer par de função e sua inversa.

Resolução Guiada

10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento Proximal

Resolução guiada: verificar coletivamente que f(x)=2^x tem domínio R (aceita qualquer x) e imagem (0,+∞) (só valores positivos). Em duplas: verificar que g(x)=log₂(x) tem domínio (0,+∞) (só aceita x positivo) e imagem R (qualquer resultado real é possível).

Exercícios de Fixação

7 min · Prática independente

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Síntese e Fechamento

3 min · Consolidação (fechamento circular)

Retomar a pergunta do Momento 1: domínio e imagem trocam de lugar entre função e inversa — a logarítmica tem domínio (0,+∞), diferente do domínio R da exponencial.

Avaliação formativa

Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.

Lista de exercícios

1. Qual o domínio de f(x)=2^x?

Gabarito: R (todos os reais).

2. Qual a imagem de f(x)=2^x?

Gabarito: (0,+∞).

3. Qual o domínio de g(x)=log₂(x)?

Gabarito: (0,+∞), o oposto da imagem de f.

4. Qual a imagem de g(x)=log₂(x)?

Gabarito: R, o oposto do domínio de f.

5. Exponencial e sua logarítmica inversa têm o mesmo domínio?

Gabarito: Não — o domínio de uma é a imagem da outra, e vice-versa.

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