Aula 245 — Equações logarítmicas
50 minObjetivo geral
Resolver equações logarítmicas, reconhecendo que toda solução encontrada precisa ser verificada contra as condições de existência antes de ser aceita.
Objetivos específicos
- Resolver equações logarítmicas reescrevendo-as na forma exponencial equivalente.
- Aplicar propriedades dos logaritmos para simplificar equações antes de resolver.
- Verificar cada solução encontrada contra as condições de existência (logaritmando>0).
- Descartar soluções que violam as condições de existência, mesmo sendo algebricamente corretas.
Conhecimentos prévios
- Condições de existência dos logaritmos, Módulo 15, Aula 240.
- Propriedades dos logaritmos, Módulo 15, Aula 241.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula245_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- GeoGebra CAS, para conferir a resolução de equações logarítmicas e suas condições de existência.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: resolvendo log(x)+log(x−3)=1, toda solução algébrica encontrada pode ser aceita direto?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever no quadro a resolução "x(x−3)=10 → x2−3x−10=0 → x=5 ou x=−2" e perguntar: as duas soluções são válidas? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): resolver a equação algebricamente pode gerar soluções que violam as condições de existência do logaritmo original — é preciso verificar CADA solução antes de aceitar.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: depois de resolver algebricamente, verifica-se cada solução nas condições de existência da equação ORIGINAL (aqui, x>0 e x−3>0, ou seja, x>3). Resolvendo a pergunta do Momento 2: x=5 satisfaz x>3, é válida; x=−2 NÃO satisfaz x>3 (nem sequer x>0), então é descartada, apesar de ser solução algébrica da equação x2−3x−10=0.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: verificar coletivamente as condições de existência para log(x)+log(x−3)=1: x>0 E x−3>0, que se resume a x>3. Em duplas: confirmar que x=5 é a única solução válida, testando na equação original: log(5)+log(2)=log(10)=1 ✓.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: nem toda solução algébrica é válida — é obrigatório verificar contra as condições de existência do logaritmo original antes de aceitar.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Resolva log(x)+log(x−3)=1 algebricamente.
Gabarito: log(x(x−3))=1 → x(x−3)=10 → x2−3x−10=0 → x=5 ou x=−2.
2. Quais são as condições de existência de log(x)+log(x−3)=1?
Gabarito: x>0 e x−3>0, ou seja, x>3.
3. x=−2 é uma solução válida para log(x)+log(x−3)=1?
Gabarito: Não — viola x>3 (e nem sequer log(−2) existe).
4. x=5 é uma solução válida?
Gabarito: Sim — satisfaz x>3. Verificando: log(5)+log(2)=log(10)=1 ✓.
5. Por que é obrigatório verificar as soluções de uma equação logarítmica?
Gabarito: Porque o processo algébrico pode gerar soluções que violam as condições de existência do logaritmo original.