Aula 259 — Fatorial
50 minObjetivo geral
Compreender a definição de fatorial de um número natural e a convenção 0!=1.
Objetivos específicos
- Definir n! = n×(n−1)×(n−2)×...×2×1, para n natural, n≥1.
- Calcular fatoriais de números pequenos.
- Reconhecer 0!=1 como uma convenção matemática, não como resultado de um cálculo "sem termos".
- Simplificar razões de fatoriais cancelando fatores comuns, sem calcular cada fatorial por completo.
Conhecimentos prévios
- Princípio Fundamental da Contagem, Módulo 17, Aula 258.
- Multiplicação e potenciação, Módulos 1 e 4.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula259_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Planilha eletrônica, para calcular fatoriais e observar o crescimento rápido da sequência.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: 0! vale 0, já que "não há nada para multiplicar"?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever no quadro "0!=0" e perguntar se está certo. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): por analogia com "não ter nada", parece razoável que 0! seja zero — mas 0! é DEFINIDO como 1, por convenção, justamente para que fórmulas de contagem (como o PFC aplicado a zero decisões) continuem funcionando sem exceção.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: n!=n×(n−1)×...×2×1. Exemplos: 5!=120, 6!=720, e o crescimento é muito rápido — 10!=3628800. Convenção: 0!=1 e 1!=1 (não há produto de zero fatores nem de um fator diferente de si mesmo).
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: simplificar coletivamente 6!/4! sem calcular os dois fatoriais completos (6!/4!=6×5=30). Em duplas: simplificar 7!/5! da mesma forma (7×6=42).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: 0! não é zero, é 1 — por definição, não por um cálculo de "zero termos".
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Calcule 5!.
Gabarito: 5!=5×4×3×2×1=120.
2. Calcule 6!.
Gabarito: 6!=6×5×4×3×2×1=720.
3. Quanto vale 0!? Por quê?
Gabarito: 0!=1, por convenção matemática — não é o resultado de multiplicar "nada".
4. Simplifique 6!/4! sem calcular os fatoriais completos.
Gabarito: 6!/4!=6×5=30.
5. Encontre o erro: "0!=0, porque não há números para multiplicar."
Gabarito: Errado: 0! é definido como 1, por convenção, para manter consistentes as fórmulas de contagem.