Aula 260 — Permutação simples
50 minObjetivo geral
Compreender a permutação simples como o número de modos de organizar n objetos distintos em fila, deduzindo Pn=n! a partir do PFC.
Objetivos específicos
- Definir permutação simples de n elementos distintos.
- Deduzir Pn=n! aplicando o PFC (n escolhas para a 1ª posição, n−1 para a 2ª, e assim por diante).
- Calcular Pn para valores pequenos de n.
- Reconhecer quando um problema pede permutação simples: todos os elementos são usados, a ordem importa, sem repetição.
Conhecimentos prévios
- Princípio Fundamental da Contagem, Aula 258.
- Fatorial, Aula 259.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula260_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Seeing Theory, para visualizar simulações de organizações e ordenações de elementos de um conjunto.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: de quantas formas 4 amigos (A, B, C, D) podem se sentar numa fila de 4 cadeiras?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever no quadro os nomes A, B, C, D e a pergunta da fila, propondo que os alunos tentem listar as possibilidades manualmente. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): listar manualmente é lento e sujeito a erro — o problema é, na verdade, uma aplicação direta do PFC que ainda não foi reconhecida como tal.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: Pn é o número de formas de organizar n elementos distintos em fila. Pelo PFC: n escolhas para a 1ª posição, n−1 para a 2ª (sobrou um a menos), ..., 1 para a última — logo Pn=n×(n−1)×...×1=n!. Resolvendo a pergunta do Momento 2: P4=4!=24.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: calcular coletivamente P3 (3 livros numa estante)=3!=6. Em duplas: calcular P5 (5 amigos em fila)=5!=120.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: são 4!=24 formas — dedução direta do PFC, sem precisar listar manualmente.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. De quantas formas 4 amigos podem se sentar numa fila de 4 cadeiras?
Gabarito: P4=4!=24.
2. De quantas formas 3 livros podem ser organizados numa estante?
Gabarito: P3=3!=6.
3. De quantas formas 5 amigos podem ficar em fila?
Gabarito: P5=5!=120.
4. Por que Pn=n!? Explique usando o PFC.
Gabarito: Pelo PFC: n escolhas para a 1ª posição, n−1 para a 2ª, ..., 1 para a última — multiplicando tudo, n×(n−1)×...×1=n!.
5. Encontre o erro: "para organizar 4 pessoas em fila, existem 4×4×4×4=256 formas."
Gabarito: Errado: cada posição usa uma pessoa que já não está mais disponível (sem repetição): 4×3×2×1=24, não 44.