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Aula 261 — Permutação com repetição

50 min
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Objetivo geral

Compreender a permutação com elementos repetidos, reconhecendo que trocar posições entre elementos idênticos não gera um agrupamento novo.

Objetivos específicos

  • Enunciar a fórmula Pn(a,b,...)=n!/(a!×b!×...) para permutações com elementos repetidos.
  • Aplicar a fórmula a anagramas de palavras com letras repetidas.
  • Reconhecer o erro de tratar elementos idênticos como se fossem distintos, usando n! puro.
  • Identificar corretamente quantos e quais elementos se repetem, antes de aplicar a fórmula.

Conhecimentos prévios

  • Permutação simples, Aula 260.
  • Fatorial, Aula 259.

Recursos didáticos

  • Apresentação de slides — Possor_MatAula261_Apresentacao.pptx.
  • Quadro/lousa e material de escrita.
  • Planilha eletrônica, para listar manualmente os anagramas de uma palavra curta e comparar com o resultado da fórmula.

Desenvolvimento da aula

Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios

5 min · Ausubel — ativação de subsunçores

O professor pergunta: quantos anagramas tem a palavra "ARARA"? Seria 5!=120, já que tem 5 letras?

Problematização Inicial

5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipado

Escrever no quadro "ARARA → 5!=120" e perguntar se está certo. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): tratar as 3 letras A como se fossem distintas (A1, A2, A3) INFLA a contagem — trocar duas letras A idênticas de posição gera o mesmo anagrama, não um novo, e isso precisa ser descontado.

Desenvolvimento Conceitual

20 min · Exposição dialogada

Apresentação dos slides 2 a 9: Pn(a,b)=n!/(a!b!), dividindo pelas permutações internas de cada grupo de elementos repetidos. Resolvendo a pergunta do Momento 2: ARARA tem 5 letras, com A repetido 3 vezes e R repetido 2 vezes: 5!/(3!2!)=120/12=10 anagramas distintos, não 120.

Resolução Guiada

10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento Proximal

Resolução guiada: calcular coletivamente os anagramas de "BANANA" (6 letras: A×3, N×2, B×1): 6!/(3!2!1!)=720/12=60. Em duplas: recalcular passo a passo os anagramas de "ARARA", confirmando o resultado 10.

Exercícios de Fixação

7 min · Prática independente

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Síntese e Fechamento

3 min · Consolidação (fechamento circular)

Retomar a pergunta do Momento 1: são 10 anagramas distintos, não 120 — é preciso dividir pelas repetições internas.

Avaliação formativa

Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.

Lista de exercícios

1. Quantos anagramas distintos tem a palavra "ARARA"?

Gabarito: 5!/(3!2!)=120/12=10.

2. Quantos anagramas distintos tem a palavra "BANANA"?

Gabarito: 6!/(3!2!1!)=720/12=60.

3. Por que não podemos calcular os anagramas de "ARARA" fazendo 5!=120?

Gabarito: Porque as 3 letras A repetidas geram anagramas idênticos entre si quando trocadas de posição; sem dividir por 3!, cada anagrama distinto seria contado várias vezes.

4. Quantos anagramas tem a palavra "OVO" (O×2, V×1)?

Gabarito: 3!/2!=6/2=3.

5. Encontre o erro: "anagramas de ARARA = 5!=120, pois são 5 letras."

Gabarito: Errado: é preciso dividir pelas repetições internas: 5!/(3!2!)=10, não 120.

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