Aula 262 — Permutação circular
50 minObjetivo geral
Compreender a permutação circular, justificando por que se divide por n em vez de usar n! diretamente quando a disposição é em torno de um círculo.
Objetivos específicos
- Enunciar a fórmula PCn=(n−1)! para permutação circular de n elementos distintos.
- Justificar por que rotações de uma mesma disposição circular são consideradas idênticas.
- Aplicar a fórmula a problemas de mesa redonda.
- Diferenciar quando usar permutação simples (fila) e permutação circular (círculo).
Conhecimentos prévios
- Permutação simples, Aula 260.
- Fatorial, Aula 259.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula262_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- GeoGebra, para visualizar rotações de pontos dispostos em círculo e comparar disposições equivalentes.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: de quantas formas 5 amigos podem se sentar numa mesa REDONDA? É 5!=120, o mesmo resultado de uma fila?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever no quadro "mesa redonda com 5 amigos → 5!=120" e perguntar se está certo. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): numa fila, cada posição é distinta (início, meio, fim); numa mesa redonda, girar TODO MUNDO uma cadeira para o lado mantém os mesmos vizinhos — ou seja, gera a MESMA disposição relativa, não uma nova.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: PCn=(n−1)!. Fixa-se um elemento como referência (ele não gira em relação a si mesmo) e permutam-se os demais (n−1) ao seu redor. Resolvendo a pergunta do Momento 2: PC5=4!=24, não 5!=120 — dividimos por 5, porque cada disposição circular corresponde a 5 disposições em fila equivalentes (uma para cada rotação): 120/5=24.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: calcular coletivamente PC4 (4 amigos em mesa redonda)=3!=6. Em duplas: calcular PC6 (6 amigos em mesa redonda)=5!=120.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: são PC5=4!=24 disposições, não 120 — rotações contam como a mesma disposição numa mesa redonda.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. De quantas formas 5 amigos podem se sentar numa mesa redonda?
Gabarito: PC5=(5−1)!=4!=24.
2. De quantas formas 4 amigos podem se sentar numa mesa redonda?
Gabarito: PC4=(4−1)!=3!=6.
3. De quantas formas 6 amigos podem se sentar numa mesa redonda?
Gabarito: PC6=(6−1)!=5!=120.
4. Por que PCn=(n−1)!, e não n!?
Gabarito: Porque girar toda a disposição circular uma posição gera a mesma configuração de vizinhos; cada disposição circular corresponde a n disposições em fila (uma para cada rotação), então dividimos n! por n, resultando em (n−1)!.
5. Encontre o erro: "5 amigos numa mesa redonda têm 5!=120 disposições, igual a numa fila."
Gabarito: Errado: numa mesa redonda, rotações da mesma disposição são consideradas idênticas: PC5=4!=24, não 120.