Aula 263 — Arranjo simples
50 minObjetivo geral
Compreender o arranjo simples como a escolha ORDENADA de p elementos distintos entre n, sem repetição, deduzindo A(n,p)=n!/(n−p)! a partir do PFC.
Objetivos específicos
- Definir arranjo simples: escolher e ORDENAR p elementos distintos entre n disponíveis.
- Deduzir a fórmula A(n,p)=n!/(n−p)! a partir do PFC.
- Calcular arranjos para valores pequenos de n e p.
- Reconhecer quando um problema exige arranjo: a ordem importa, como em cargos distintos, posições ou medalhas.
Conhecimentos prévios
- Fatorial, Aula 259.
- Princípio Fundamental da Contagem, Aula 258.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula263_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Seeing Theory, para explorar simulações de seleção e ordenação de elementos de um conjunto.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: de um grupo de 5 amigos (A, B, C, D, E), de quantas formas posso escolher presidente, vice e secretário (3 cargos distintos)? É o mesmo número de formas de escolher uma comissão de 3 pessoas sem cargo definido?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever no quadro os 5 nomes e os 3 cargos, perguntando se "escolher 3 de 5" já resolve o problema. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): aqui a ORDEM/o papel de cada pessoa importa — presidente, vice e secretário são posições diferentes — então esse problema não é o mesmo que simplesmente selecionar um grupo de 3 pessoas sem distinção de papel.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: A(n,p)=n×(n−1)×...×(n−p+1)=n!/(n−p)!, deduzido do PFC: n escolhas para o 1º cargo, n−1 para o 2º, e assim por diante, até p cargos preenchidos. Resolvendo a pergunta do Momento 2: A(5,3)=5×4×3=60=5!/2!=120/2=60 (PFC: 5 escolhas para presidente, 4 para vice, 3 para secretário).
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: calcular coletivamente A(4,2) (definir 1º e 2º lugar entre 4 corredores)=4×3=12. Em duplas: calcular A(6,2) (definir ouro e prata entre 6 atletas)=6×5=30.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: são A(5,3)=60 formas — diferente de simplesmente escolher 3 pessoas sem cargo definido, que veremos na próxima aula ser um número menor.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. De um grupo de 5 amigos, de quantas formas posso escolher presidente, vice e secretário?
Gabarito: A(5,3)=5!/(5−3)!=5×4×3=60.
2. De 4 corredores, de quantas formas posso definir 1º e 2º lugar?
Gabarito: A(4,2)=4×3=12.
3. De 6 atletas, de quantas formas posso definir ouro e prata?
Gabarito: A(6,2)=6×5=30.
4. Escreva a fórmula do arranjo simples A(n,p) e explique cada termo.
Gabarito: A(n,p)=n!/(n−p)!: escolhe e ORDENA p elementos distintos entre n disponíveis, sem repetir nenhum.
5. Encontre o erro: "escolher presidente, vice e secretário entre 5 pessoas é o mesmo que escolher uma comissão de 3, então é C(5,3)=10."
Gabarito: Errado: no arranjo os cargos são distintos e a ordem importa: A(5,3)=60, diferente da combinação, que despreza a ordem.