Aula 264 — Combinação simples
50 minObjetivo geral
Compreender a combinação simples como a escolha NÃO ordenada de p elementos distintos entre n, deduzindo C(n,p)=n!/(p!(n−p)!) a partir do arranjo.
Objetivos específicos
- Definir combinação simples: escolher p elementos distintos entre n, sem se importar com a ordem.
- Deduzir C(n,p)=A(n,p)/p!, dividindo o arranjo pelas p! ordens internas equivalentes.
- Calcular combinações para valores pequenos de n e p.
- Diferenciar arranjo de combinação a partir do enunciado do problema, verificando se a ordem importa ou não.
Conhecimentos prévios
- Arranjo simples, Aula 263.
- Fatorial, Aula 259.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula264_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- GeoGebra Probability Calculator, para comparar contagens de situações em que a ordem importa e em que não importa.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: de 5 amigos, de quantas formas posso escolher uma comissão de 3 pessoas, sem cargo definido? É 60, o mesmo resultado do arranjo da aula passada?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever no quadro "comissão de 3 entre 5 amigos → A(5,3)=60?" e perguntar se está certo. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): usar A(5,3)=60 diretamente ignora que, numa comissão sem cargos, {A,B,C} e {B,A,C} são a MESMA comissão — o arranjo conta essa mesma comissão várias vezes, uma para cada ordem possível dos 3 nomes.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: C(n,p)=A(n,p)/p!=n!/(p!(n−p)!). Resolvendo a pergunta do Momento 2: C(5,3)=60/3!=60/6=10 — cada comissão de 3 pessoas foi contada 3!=6 vezes no arranjo (uma para cada ordem interna), então dividimos por 6.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: calcular coletivamente C(4,2) (escolher 2 sabores entre 4 para uma casquinha, sem ordem)=4!/(2!2!)=6. Em duplas: calcular C(6,2) (escolher 2 filmes entre 6 para assistir no fim de semana)=6!/(2!4!)=15.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: são C(5,3)=10 comissões possíveis, não 60 — a ordem dentro da comissão não importa.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. De 5 amigos, de quantas formas posso escolher uma comissão de 3, sem cargos?
Gabarito: C(5,3)=5!/(3!2!)=10.
2. De 4 sabores de sorvete, de quantas formas posso escolher 2 para uma casquinha, sem ordem?
Gabarito: C(4,2)=4!/(2!2!)=6.
3. De 6 filmes, de quantas formas posso escolher 2 para assistir no fim de semana?
Gabarito: C(6,2)=6!/(2!4!)=15.
4. Por que C(n,p)=A(n,p)/p!?
Gabarito: Porque cada grupo de p elementos é contado p! vezes no arranjo, uma vez para cada ordem interna possível; dividir por p! remove essa repetição, sobrando só os grupos distintos.
5. Encontre o erro: "escolher uma comissão de 3 pessoas entre 5 é A(5,3)=60, pois é igual a escolher 3 elementos."
Gabarito: Errado: numa comissão a ordem não importa, então o cálculo correto é a combinação: C(5,3)=10, não o arranjo A(5,3)=60.