Aula 265 — Relações entre arranjos e combinações
50 minObjetivo geral
Compreender e aplicar as relações entre arranjos e combinações — A(n,p)=C(n,p)×p! — e as propriedades da combinação (simetria e Relação de Stifel).
Objetivos específicos
- Verificar numericamente que A(n,p)=C(n,p)×p!.
- Aplicar a propriedade de simetria: C(n,p)=C(n,n−p).
- Aplicar a Relação de Stifel: C(n,p)+C(n,p+1)=C(n+1,p+1).
- Escolher a fórmula certa (arranjo ou combinação) a partir do contexto do problema, sem depender de decorar palavras-chave.
Conhecimentos prévios
- Arranjo simples, Aula 263.
- Combinação simples, Aula 264.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula265_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Planilha eletrônica, para gerar uma tabela de C(n,p) e conferir visualmente a simetria e a Relação de Stifel.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: C(5,2) e C(5,3) dão o mesmo resultado? Por que isso faria sentido?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever no quadro "C(5,2) = ? = C(5,3)" e perguntar se são iguais. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): parece razoável achar que "escolher 2" e "escolher 3" sejam operações diferentes com resultados diferentes — sem perceber que escolher 2 elementos para INCLUIR num grupo de 5 é exatamente equivalente a escolher os 3 elementos restantes para EXCLUIR.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: simetria C(n,p)=C(n,n−p): C(5,2)=C(5,3)=10, confirmando que "escolher quem entra" e "escolher quem fica de fora" são a mesma decisão. Também: A(n,p)=C(n,p)×p! (A(5,3)=C(5,3)×3!=10×6=60, batendo com o resultado da Aula 263). Relação de Stifel: C(n,p)+C(n,p+1)=C(n+1,p+1): C(5,2)+C(5,3)=10+10=20=C(6,3).
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: verificar coletivamente que C(4,1)=C(4,3) (ambos valem 4). Em duplas: verificar a Relação de Stifel com C(4,1)+C(4,2)=C(5,2) (4+6=10, e C(5,2)=10).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: sim, C(5,2)=C(5,3)=10 — escolher quem entra é equivalente a escolher quem fica de fora.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Verifique que C(5,2)=C(5,3).
Gabarito: Ambos valem 10 (simetria: C(n,p)=C(n,n−p), com 5−2=3).
2. Verifique que A(5,3)=C(5,3)×3!.
Gabarito: C(5,3)×3!=10×6=60=A(5,3).
3. Verifique a Relação de Stifel para C(5,2)+C(5,3).
Gabarito: C(5,2)+C(5,3)=10+10=20=C(6,3).
4. Verifique que C(4,1)=C(4,3).
Gabarito: Ambos valem 4 (simetria: 4−1=3).
5. Explique por que C(n,p)=C(n,n−p) faz sentido, sem calcular.
Gabarito: Escolher p elementos para incluir num grupo de n é equivalente a escolher os (n−p) elementos restantes para excluir — são a mesma decisão vista de dois ângulos diferentes.