Aula 266 — Binômio de Newton
50 minObjetivo geral
Compreender a expansão do binômio de Newton (x+y)n, relacionando seus coeficientes às combinações C(n,k).
Objetivos específicos
- Enunciar a fórmula (x+y)n = soma de C(n,k)xn−kyk, para k de 0 a n.
- Relacionar os coeficientes binomiais ao Triângulo de Pascal.
- Expandir binômios de expoente pequeno (n=2, 3, 4) usando a fórmula, sem multiplicar tudo por distributividade repetida.
- Reconhecer que expandir (x+y)n multiplicando tudo manualmente se torna inviável para n grande.
Conhecimentos prévios
- Combinação simples, Aula 264.
- Produtos notáveis, Módulo 5.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula266_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- GeoGebra, para visualizar o Triângulo de Pascal e relacionar seus valores aos coeficientes binomiais.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: para expandir (x+y)10, preciso multiplicar (x+y) por si mesmo 10 vezes, uma de cada vez?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever no quadro "(x+y)10 = (x+y)×(x+y)×...×(x+y) (10 vezes)" e perguntar se essa é a única forma de expandir. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): multiplicar repetidamente por distributividade é viável para n=2 ou 3, mas se torna impraticável (e desnecessário) para n grande — falta uma fórmula direta para os coeficientes.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: (x+y)n = Σ C(n,k)xn−kyk, k=0 a n. Cada termo corresponde a escolher, entre os n fatores (x+y), quantos contribuem com y (os demais contribuem com x) — por isso o coeficiente é C(n,k). Exemplo (x+y)4: coeficientes C(4,0), C(4,1), C(4,2), C(4,3), C(4,4) = 1, 4, 6, 4, 1, dando x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4. Conferência: soma dos coeficientes (fazendo x=y=1) é 24=16=1+4+6+4+1.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: expandir coletivamente (x+y)3 usando C(3,k)=1,3,3,1 → x3+3x2y+3xy2+y3. Em duplas: expandir (x+y)2 usando C(2,k)=1,2,1 → x2+2xy+y2, conferindo com o produto notável já conhecido.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não é preciso multiplicar 10 vezes — a fórmula do binômio de Newton usa combinações para gerar os coeficientes diretamente.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Expanda (x+y)3 usando a fórmula do binômio de Newton.
Gabarito: x3+3x2y+3xy2+y3 (coeficientes C(3,0..3)=1,3,3,1).
2. Expanda (x+y)2 e confira com o produto notável já conhecido.
Gabarito: x2+2xy+y2 (coeficientes C(2,0..2)=1,2,1).
3. Quais são os coeficientes de (x+y)4?
Gabarito: 1, 4, 6, 4, 1 (C(4,0) a C(4,4)).
4. Confira que a soma dos coeficientes de (x+y)4 é 24.
Gabarito: 1+4+6+4+1=16=24.
5. Por que o coeficiente de xn−kyk em (x+y)n é C(n,k)?
Gabarito: Porque, entre os n fatores (x+y) multiplicados, o coeficiente conta de quantas formas podemos escolher k desses fatores para contribuir com y (os demais contribuem com x) — exatamente C(n,k).