Aula 277 — Teorema de Bayes
50 minObjetivo geral
Aplicar o Teorema de Bayes para "inverter" uma probabilidade condicional, reconhecendo que P(A|B) e P(B|A) são geralmente diferentes.
Objetivos específicos
- Enunciar o Teorema de Bayes: P(C1|A)=P(A|C1)×P(C1)/P(A).
- Aplicar o teorema para encontrar a probabilidade de um cenário DADO que um evento já ocorreu.
- Reconhecer que P(C1|A) (o que queremos) é diferente de P(A|C1) (o que já sabemos).
- Usar o Teorema da Probabilidade Total como etapa auxiliar para calcular o denominador do Teorema de Bayes.
Conhecimentos prévios
- Teorema da Probabilidade Total, Aula 276.
- Probabilidade condicional, Aula 273.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula277_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Seeing Theory, para visualizar o Teorema de Bayes como uma reponderação de probabilidades depois de uma nova informação.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: nas caixas da aula passada (Caixa 1: 60% de chance, 3V/2A; Caixa 2: 40% de chance, 1V/4A), se a bola sorteada saiu vermelha, a chance de ter vindo da Caixa 1 continua sendo 60%?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever no quadro a pergunta e propor votação. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): confundir a probabilidade "antes" de saber o resultado (P(Caixa 1)=60%, a priori) com a probabilidade "depois" de saber que saiu vermelha (P(Caixa 1|vermelha), a posteriori) — a nova informação muda a chance.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: o Teorema de Bayes é P(C1|A)=P(A|C1)×P(C1)/P(A), usando o P(A) já calculado pelo Teorema da Probabilidade Total (Aula 276: P(vermelha)=0,44). Resolvendo a pergunta do Momento 2: P(Caixa 1|vermelha)=0,6×0,6/0,44=0,36/0,44=9/11≈0,818 — MAIOR que os 60% originais, pois saber que saiu vermelha reforça a hipótese da Caixa 1 (que tinha mais bolas vermelhas).
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: calcular coletivamente P(Caixa 2|vermelha)=0,2×0,4/0,44=0,08/0,44=2/11≈0,182 (conferindo: 9/11+2/11=1). Em duplas: calcular P(Caixa 1|azul)=0,4×0,6/0,56=0,24/0,56=3/7≈0,429.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: a chance de ter vindo da Caixa 1, sabendo que saiu vermelha, sobe para 9/11≈81,8% — bem maior que os 60% de antes.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Nas caixas da Aula 276 (Caixa 1: 60%/3V2A, Caixa 2: 40%/1V4A), calcule P(Caixa 1|vermelha).
Gabarito: (0,6×0,6)/0,44=9/11≈0,818.
2. Nas mesmas condições, calcule P(Caixa 2|vermelha).
Gabarito: (0,2×0,4)/0,44=2/11≈0,182.
3. Confira que P(Caixa 1|vermelha)+P(Caixa 2|vermelha)=1.
Gabarito: 9/11+2/11=1.
4. Por que P(Caixa 1|vermelha) é maior que os 60% originais de P(Caixa 1)?
Gabarito: Porque saber que saiu vermelha é uma evidência a favor da Caixa 1, que tem proporção maior de bolas vermelhas — a nova informação reforça essa hipótese.
5. Encontre o erro: "se saiu uma bola vermelha, a chance de ter vindo da Caixa 1 continua 60%, porque essa é a chance de escolher a Caixa 1."
Gabarito: Errado: 60% é a chance ANTES de saber a cor; depois de saber que saiu vermelha, a chance se atualiza pelo Teorema de Bayes para 9/11≈81,8%.