Aula 51 — Fração geratriz de dízimas periódicas

O professor pergunta: "se 1÷3 dá 0,333..., existe um caminho de volta, de 0,333... pra 1/3, sem só \"adivinhar\"?" Ouvir hipóteses.

Perguntar: existe uma fórmula sistemática para voltar de qualquer dízima periódica para a fração que a gerou? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): achar que não existe uma forma sistemática de fazer esse caminho de volta — existe uma fórmula direta, chamada fração geratriz.

Apresentação dos slides 2 a 9: para uma dízima periódica SIMPLES, a fração geratriz tem o período como numerador e uma sequência de noves (um nove para cada algarismo do período) como denominador: 0,333... tem período "3" (um algarismo), então a geratriz é 3/9, que simplifica para 1/3 — isso resolve o obstáculo do Momento 2. Para uma dízima COMPOSTA, subtrai-se o ante-período do número formado por ante-período+período, e o denominador tem um nove para cada algarismo do período seguido de um zero para cada algarismo do ante-período: 0,1666... (ante-período 1, período 6) tem geratriz (16−1)/90=15/90, que simplifica para 1/6. Sempre vale verificar a geratriz encontrada dividindo-a de volta.

Resolução guiada: calcular coletivamente a fração geratriz de 0,333... e de 0,1666..., verificando cada uma por divisão. Em duplas: calcular a fração geratriz de uma nova dízima dada pelo professor.

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Retomar a pergunta do Momento 1: sim, existe um caminho sistemático de volta — a fração geratriz, calculada a partir do período (e do ante-período, quando houver).