Aula 53 — Proporções e propriedades fundamentais
50 minObjetivo geral
Compreender proporção como a igualdade entre duas razões, aplicando a propriedade fundamental das proporções para encontrar um termo desconhecido.
Objetivos específicos
- Definir proporção como a igualdade entre duas razões.
- Identificar os termos de uma proporção (extremos e meios).
- Aplicar a propriedade fundamental das proporções (produto dos meios igual ao produto dos extremos) para encontrar um termo desconhecido.
- Verificar se duas razões formam uma proporção.
Conhecimentos prévios
- Razão entre grandezas, Módulo 2, Aula 52.
- Multiplicação e divisão de números naturais, Módulo 1, Aulas 19 e 20.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula53_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Calculadora para conferência dos resultados.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: "2/3 e 6/9 são razões diferentes, ou é a mesma comparação escrita de dois jeitos?" Ouvir hipóteses.
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever "3/4=x/12" no quadro e perguntar: existe algum "truque" (multiplicar em cruz) pra achar x, e por que ele funciona? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): aplicar a propriedade fundamental das proporções como um truque decorado ("multiplicar tudo em cruz"), sem entender que ela só formaliza a ideia de que duas razões são iguais.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: uma proporção é a igualdade entre duas razões (a/b=c/d), em que a e d são os extremos, e b e c são os meios. A propriedade fundamental das proporções diz que o produto dos meios é igual ao produto dos extremos (a×d=b×c) — isso resolve o obstáculo do Momento 2: não é um truque arbitrário, é uma consequência direta de multiplicar os dois lados de a/b=c/d pelo produto dos denominadores, que sempre resulta nessa igualdade cruzada. Usando essa propriedade, um termo desconhecido pode ser isolado: em 3/4=x/12, 3×12=4×x, então 36=4x, e x=9.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: verificar coletivamente se 2/3 e 6/9 formam uma proporção, e resolver 3/4=x/12 encontrando x. Em duplas: verificar se um novo par de razões forma proporção, e resolver uma proporção com termo desconhecido.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: 2/3 e 6/9 são a mesma comparação, escrita de duas formas — e a propriedade fundamental das proporções confirma isso matematicamente (2×9=3×6).
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. As razões 2/3 e 6/9 formam uma proporção? Verifique pela propriedade fundamental.
Gabarito: 2×9=18, 3×6=18. Os produtos são iguais, então formam uma proporção.
2. Na proporção 3/4=x/12, encontre o valor de x.
Gabarito: 3×12=4×x. 36=4x. x=9.
3. Identifique os extremos e os meios na proporção 2/5=8/20.
Gabarito: Extremos: 2 e 20. Meios: 5 e 8.
4. As razões 3/5 e 4/7 formam uma proporção? Justifique.
Gabarito: 3×7=21, 5×4=20. Os produtos são diferentes, então NÃO formam uma proporção.
5. Explique, com suas palavras, o que significa "produto dos meios igual ao produto dos extremos".
Gabarito: Resposta aberta — espera-se que o aluno explique que, numa proporção a/b=c/d, multiplicar os termos do meio (b e c) dá o mesmo resultado que multiplicar os termos das extremidades (a e d), e essa igualdade é usada para verificar ou resolver proporções.
Observações e extensão
Próxima aula: Regra de três simples. Nota para o professor: a propriedade fundamental das proporções vista aqui é exatamente o mecanismo por trás da regra de três da próxima aula.