Aula 306 — Tipos de matrizes
50 minObjetivo geral
Classificar matrizes em tipos especiais (quadrada, linha, coluna, nula, diagonal, identidade, simétrica), reconhecendo que nem toda matriz diagonal é identidade.
Objetivos específicos
- Definir matriz quadrada (mesmo número de linhas e colunas), linha (1 linha) e coluna (1 coluna).
- Definir matriz nula (todos os elementos zero) e matriz diagonal (elementos fora da diagonal principal são zero).
- Definir matriz identidade como a matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal são todos 1.
- Reconhecer que toda matriz identidade é diagonal, mas nem toda matriz diagonal é identidade.
Conhecimentos prévios
- Conceito e representação de matrizes, Módulo 20, Aula 305.
- Números naturais, Módulo 1.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula306_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Wolfram Alpha, para verificar operações e determinantes de matrizes.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: a matriz D=diag(2,5,7) (diagonal, com 2,5,7 na diagonal principal e zero fora dela) é uma matriz identidade?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever D no quadro e perguntar se ela é uma identidade. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): achar que toda matriz diagonal (zeros fora da diagonal principal) é automaticamente uma identidade — mas identidade exige, além disso, que os elementos da diagonal sejam TODOS 1, não qualquer valor.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: matriz diagonal tem zeros fora da diagonal principal, mas os elementos da diagonal podem ser QUALQUER valor; matriz identidade é o caso PARTICULAR em que esses valores são todos 1. Resolvendo a pergunta do Momento 2: D=diag(2,5,7) é diagonal, mas NÃO é identidade, pois 2,5,7 ≠ 1.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: identificar coletivamente os tipos das matrizes: [[1,0],[0,1]] (identidade), [[0,0],[0,0]] (nula), [[1,2,3]] (linha), [[1],[2],[3]] (coluna). Em duplas: verificar se a matriz [[1,2,3],[2,4,5],[3,5,6]] é simétrica (aij=aji para todo i,j) — sim, é simétrica.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: D=diag(2,5,7) não é identidade — é diagonal, mas os valores da diagonal precisam ser todos 1 para ser identidade.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. A matriz [[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]] é do tipo identidade, diagonal, ambas ou nenhuma?
Gabarito: Ambas — toda identidade é diagonal, e essa tem 1's na diagonal.
2. A matriz diag(2,5,7) é identidade?
Gabarito: Não — é diagonal, mas os valores da diagonal não são todos 1.
3. O que caracteriza uma matriz nula?
Gabarito: Todos os seus elementos são zero.
4. O que caracteriza uma matriz simétrica?
Gabarito: aij=aji para todo i,j — os elementos são espelhados em relação à diagonal principal.
5. Encontre o erro: "toda matriz diagonal é uma matriz identidade."
Gabarito: Errado: matriz diagonal só exige zeros fora da diagonal; identidade exige, além disso, que os valores da diagonal sejam todos 1.