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Aula 311 — Matriz transposta

50 min
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Objetivo geral

Calcular a matriz transposta, reconhecendo que ela troca especificamente LINHAS por COLUNAS, não apenas "inverte" a matriz.

Objetivos específicos

  • Definir a transposta At de uma matriz A como aquela em que aij vira aji.
  • Calcular a transposta de uma matriz de qualquer ordem.
  • Reconhecer que transpor muda a ordem da matriz de m×n para n×m.
  • Verificar a propriedade (At)t=A.

Conhecimentos prévios

  • Conceito e representação de matrizes, Módulo 20, Aula 305.
  • Igualdade de matrizes, Módulo 20, Aula 307.

Recursos didáticos

  • Apresentação de slides — Possor_MatAula311_Apresentacao.pptx.
  • Quadro/lousa e material de escrita.
  • GeoGebra CAS, para operar com matrizes e conferir cálculos.

Desenvolvimento da aula

Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios

5 min · Ausubel — ativação de subsunçores

O professor pergunta: para transpor a matriz A=[[1,2,3],[4,5,6]], basta escrever os elementos na ordem inversa, de trás para frente?

Problematização Inicial

5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipado

Escrever essa tentativa (elementos invertidos) no quadro e perguntar se é a transposta correta. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): achar que transpor é "inverter a ordem" dos elementos (como ler de trás para frente), quando na verdade é uma operação bem específica: trocar cada elemento aij pela posição aji (linha vira coluna, coluna vira linha).

Desenvolvimento Conceitual

20 min · Exposição dialogada

Apresentação dos slides 2 a 9: a transposta At tem aij (de A) na posição aji; a 1ª linha de A vira a 1ª coluna de At, e assim por diante. Resolvendo a pergunta do Momento 2: A=[[1,2,3],[4,5,6]] (ordem 2×3) tem transposta At=[[1,4],[2,5],[3,6]] (ordem 3×2) — não é "inverter a ordem dos elementos", é reorganizar linhas em colunas.

Resolução Guiada

10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento Proximal

Resolução guiada: calcular coletivamente a transposta de B=[[1,2],[3,4]]: Bt=[[1,3],[2,4]]. Em duplas: verificar que (Bt)t=B, transpondo Bt novamente e conferindo que volta à matriz original.

Exercícios de Fixação

7 min · Prática independente

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Síntese e Fechamento

3 min · Consolidação (fechamento circular)

Retomar a pergunta do Momento 1: não — transpor troca linhas por colunas especificamente (aij vira aji), não é o mesmo que inverter a ordem dos elementos.

Avaliação formativa

Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.

Lista de exercícios

1. Calcule a transposta de A=[[1,2,3],[4,5,6]].

Gabarito: At=[[1,4],[2,5],[3,6]].

2. Qual a ordem de At, se A tem ordem 2×3?

Gabarito: 3×2 — linhas e colunas trocam de posição.

3. Calcule a transposta de B=[[1,2],[3,4]].

Gabarito: Bt=[[1,3],[2,4]].

4. O que significa (Bt)t=B?

Gabarito: Transpor uma matriz duas vezes seguidas devolve a matriz original.

5. Encontre o erro: "a transposta de uma matriz se calcula escrevendo os elementos em ordem inversa, de trás para frente."

Gabarito: Errado: transpor troca especificamente linha por coluna (aij vira aji), não é o mesmo que inverter a sequência dos elementos.

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